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ISSN : 1226-525X(Print)
ISSN : 2234-1099(Online)
Journal of the Earthquake Engineering Society of Korea Vol.23 No.2 pp.119-129
DOI : https://doi.org/10.5000/EESK.2019.23.2.119

Development of Model Parameter Prediction Equations for Simulating Load-deformation Response of Non-ductile RC Columns

Chang Seok Lee1), Sang Whan Han2)*
1)Post-doctoral researcher, Department of Architectural Engineering, Hanyang University, Korea
2)Professor, Department of Architectural Engineering, Hanyang University, Korea
Corresponding author: Han, Sang Whan E-mail: swhan@hanyang.ac.kr
December 7, 2018 January 31, 2019 January 31, 2019

Abstract


Many reinforced concrete (RC) buildings constructed prior to 1980's lack important features guaranteeing ductile response under earthquake excitation. Structural components in such buildings, especially columns, do not satisfy the reinforcement details demanded by current seismic design codes. Columns with deficient reinforcement details may suffer significant damage when subjected to cyclic lateral loads. They can also experience rapid lateral strength degradation induced by shear failure. The objective of this study is to accurately simulate the load-deformation response of RC columns experiencing shear failure. In order to do so, model parameters are calibrated to the load-deformation response of 40 RC column specimens failed in shear. Multivariate stepwise regression analyses are conducted to develop the relationship between the model parameters and physical parameters of RC column specimens. It is shown that the proposed predictive equations successfully estimated the model parameters of RC column specimens with great accuracy. The proposed equations also showed better accuracy than the existing ones.



비연성 RC 기둥의 하중-변형 응답 모사를 위한 모델 매 개변수 제안

이 창석1), 한 상환2)*
1)한양대학교 건축공학과 박사후연구원
2)한양대학교 건축공학과 교수

초록


    National Research Foundation of Korea
    2017R1A2B3008937

    1. 서 론

    내진설계기준이 도입된 1980년대 이전에 지어진 철근콘크리트 (RC) 건물 (비연성 RC건물) 대다수는 지진하중에 대한 저항성을 고려하지 않고 설계되었다 [1, 2]. 이와같은 건물 내부에 존재하는 기둥 (비연성 RC기둥) 은 횡보강근 간격이 넓으며, 내진갈고리가 사용되지 않았고, 길이방향 철근 의 겹침이음이 부재 단부에 존재하는 등 [2-8] 철근상세가 현행 구조기준에 서 요구하는 수준에 비해 빈약하다. 이 때문에 비연성 RC기둥은 횡하중으 로 인한 전단파괴에 취약하며, 전체 건물의 횡내력 (Lateral strength)을 급 격히 저하시키는 결정적인 역할을 한다 [9].

    비연성 RC건물이 횡하중에 견디기 위해 부재에 추가적으로 요구되는 강도 (Strength capacity) 및 변형능력 (Deformation capacity)은 수치해 석을 통해 가늠할 수 있다. 하지만 수치모델 (Numerical model)이 부재의 능력을 정확히 예측하지 못하면, 비연성 RC건물을 효과적으로 보강할 수 없다. 따라서 비연성 RC기둥의 효과적인 보강안을 수립하기 위해서는 부 재 항복 이후 발생하는 경화응답 (Hardening response), 최대강도 이후 발 생하는 연화응답 (Softening response), 반복하중으로 인한 강도 및 강성손 상, 그리고 핀칭을 고려할 수 있는 알고리즘이 내재된 수치모델이 필요하며, 이 알고리즘이 적절하게 작동하기 위한 값을 수치모델에 입력해야 한다.

    최근 여러 연구자들에 의해 반복손상 (Cyclic damage)을 고려할 수 있 는 수치모델이 개발되었다. Ibarra et al. [10]는 수치모델에서 소산된 누적 에너지를 기반으로 계산된 손상변수 (Damage variable)에 따라 삼선형 뼈 대곡선 (Backbone curve)의 반복손상 모사 (Simulate) 알고리즘이 탑재 된 IMK 모델을 개발하였다. Lignos and Krawinkler [11]는 정가력과 부 가력에 대해 비대칭적인 뼈대곡선과 반복손상을 고려할 수 있는 수정된 IMK 모델을 개발하였다. Lowes and Altoontash [12]는 수치모델에서 소 산된 누적 에너지와 최대 변형을 기반으로 사선형 뼈대곡선의 반복손상 및 핀칭 모사 알고리즘이 탑재된 Pinching4 모델을 제안하였다.

    초기강성, 최대 내력, 반복손상, 그리고 핀칭이 발생하는 정도 (Degree) 는 비연성 RC기둥의 단면적, 재료강도, 철근 상세 등과 같은 물리매개변수 (Physical parameter)에 따라 변한다. 따라서 손상이나 핀칭이 발생한 정도 에 대해 적절할 값이 수치모델에 입력되지 않으면 실제 기둥의 응답을 정확 히 모사할 수 없다 [10, 11]. 이와 같이 수치모델이 올바르게 작동하기 위해 입력되어야 하는 값들은 모델매개변수 (Model parameters)라고 한다. 강 구조 모멘트 접합부 [11]나 휨파괴가 발생한 RC 기둥 [13]에 대해서는 물 리매개변수를 이용한 모델매개변수 예측식이 제시되어 있으나, 전단균열 로 인해 급격한 내력저하가 발생한 비연성 RC기둥은 그렇지 않다.

    따라서 본 연구에서는 비연성 RC기둥의 모델매개변수 예측식을 제안 하는 것이며, 그 과정은 다음과 같다: 2절에서는 기존에 제안되었던 비연 성 RC기둥 수치모델의 특징을 살펴볼 것이고, 3절에서는 비연성 RC기둥 의 응답 모사에 적합한 수치모델을 구성할 것이다. 다음으로 전단균열로 인해 내력저하가 발생한 RC실험체의 하중-변형 응답 (Load-deformation response)을 수집하고 (4절), 실험결과로부터 모델매개변수를 계측하는 방법에 대해 설명할 것이다 (5절). 6절에서는 RC기둥의 물리매개변수를 이용한 모델매개변수 예측식을 제안하고, 그 정확도를 마지막 7절에서 평 가할 것이다.

    2. 비연성 RC기둥 해석 모델 선행연구 분석

    반복가력으로 인한 RC기둥의 하중-변형 응답을 모사에 특화된 과거 연구 자들의 수치모델 3가지를 살펴보았다. Elwood [14]는 기둥의 휨거동은 섬 유단면요소 (Fiber-section element) [15], 휨철근의 부착미끄러짐 (Bondslip) 으로 인한 초기강성저하는 단부의 탄성 회전스프링, 전단균열로 인한 내력저하는 전단스프링으로 각각 모사하였다 (Table 1a). 전단스프링은 기 둥 상단의 횡변위비가 임계값에 도달하면 급격한 연화응답을 보인다. 임계 값은 최대 내력이 20%만큼 감소하였을 때의 횡변위비이며 콘크리트 압축 강도, 기둥에 가해지는 축력, 횡방향 보강근비를 이용하는 경험식으로 계산 된다. 이 모델은 강도 및 강성손상, 핀칭을 모사할 수 없다.

    Table 1b는 LeBorgne and Ghannoum [16]이 제안한 수치모델로, Elwood [14]와 비교하였을 때 다음과 같은 개선점이 존재한다. (1) 전단스프링이 연화응답을 보이는 임계값이 기둥 단부의 회전각으로 변경되었다. 이로 인 해 기둥의 횡변위비를 임계값으로 사용할 때 보다 정확한 연화응답 시점을 예측할 수 있다 [17, 18]. (2) 전단스프링에서 반복하중으로 인한 강도손상 과 핀칭을 고려할 수 있게 되었다. (3) 초기강성 저하를 고려하기 위해 탄성 스프링 대신 섬유단면요소를 사용하였다. 이로 인해 Table 1a에 비해 하중- 변형 응답 모사 정확도는 상승하였다. 그러나 강성손상을 고려할 수 없고 모 델의 구성이 복잡하여 계산 시간이 증가하는 문제점이 남아있다.

    Haselton et al. [13]은 Table 1c와 같은 집중소성 (Concentrated plasticity) 모델을 제안하였다. 비선형 회전스프링은 IMK 모델 [10]로 구성 하였다. 이 수치모델은 절점 (Node)과 요소 (Element)가 적어서 계산시간 이 상대적으로 짧다. 하지만 모델매개변수 예측식이 휨파괴가 발생한 RC 기둥을 대상으로 제안되었기 때문에 비연성 RC기둥의 응답 모사에는 부적 합하다. 핀칭과 강성손상과 관련된 모델매개변수 예측식은 제안되지 않았 다는 문제점 역시 존재한다.

    Table 1a, b에 제시된 연구는 공통적으로 기둥에서 발생하는 길이방향 철 근의 부착미끄러짐, 휨, 그리고 전단응답과 같은 국소응답 (Local response) 을 개별적인 수치모델로 구성하였으나, 국소모델의 모사 정확도가 검증되 지 않았다는 문제점이 있다 [19]. 이것은 실험체의 하중-변형 응답에서 국 소응답을 분리해 내는 것, 그리고 실험 중에 국소응답들을 개별적으로 측정 하는 것이 매우 까다롭기 때문이다. 섬유단면요소 (Table 1a, b)를 이용한 수치모델의 또 다른 문제점은 RC기둥처럼 연화응답을 보이는 부재를 해석 하면 변형률국소화 (Strain localization)가 발생하여 정확한 모사 결과를 얻을 수 없다는 점이다 [15], [20], [21]. 따라서 본 연구에서는 Table 1a, b 와 같은 형태의 수치모델은 비연성 RC기둥의 응답 모사에 부적합하다고 판단했다. Table 1c는 ASCE [22]나 MOLIT [23]의 수치모델 구성 방법 과 유사하기 때문에 현장 적용성이 높을 것이라 판단하였다. 또한 Table 1a, b에 비해 요소와 절점의 수가 적기 때문에 대형구조물의 해석에도 적합하 다. 다만 Table 1c의 회전스프링에 사용된 IMK 모델 [10]은 핀칭을 고려할 수 없으며, Haselton et al. [13]의 모델매개변수 예측식은 강성손상에 대해 제안되지 않았기 때문에 개선이 필요하다.

    Table 1에 제시된 모델외에 Bouc-Wen 모델을 이용하여 RC기둥의 응 답을 모사한 연구도 존재한다 [24-26]. 하지만 Bouc-Wen 모델은 고도의 비선형 응답을 보이기 때문에 다수의 모델매개변수가 요구된다. 다수의 매 개변수를 결정하려면 최적화기법을 사용하여야 하는데, 이 기법은 해를 찾 는데 시간이 오래 걸리며 유일해 (Unique solution)를 찾기 어렵다는 문제 점이 존재하므로 [27] 비연성 RC기둥 모델 후보에서 배제되었다.

    본 연구에서는 비연성 RC기둥의 하중-변형 응답 모사에 가장 적한한 형 태는 Table 1c와 같은 집중소성모델이라고 판단하였다. 다만, 새로 제안된 모델은 앞서 언급된 Table 1c의 문제점을 개선하기 위해 연화, 핀칭, 강성 손상, 강도손상을 모두 고려할 수 있는 수치모델을 도입하여 이에 알맞은 모 델매개변수 예측식을 제안할 것이다.

    3. 비연성 RC기둥의 하중-변형 응답 예측을 위한 수치모델

    수치모델 개발을 위해 구조해석 소프트웨어인 OpenSees [28]를 사용 하였다. 회전스프링은 사선형 (Quad-linear) 뼈대곡선을 토대로 핀칭과 반 복손상을 고려할 수 있는 Pinching4 모델 [12]을 사용하였다. 뼈대곡선매 개변수는 Fig. 1과 같이 모멘트 (M1, M2, M3)와 변형 (θ1, θ2, θ3, θ4)에 대 해 정의되어야 한다. 수치모델에 가해지는 변형이 θ3을 넘어서면 연화응답 을 보인다. θ4는 심한 연화로 인해 하중이 0에 도달했을 때의 변형이다.

    Pinching4 모델 [12]에서 핀칭을 모사하기 위해 필요한 모델매개변수 는 총 3개이다 ( κ r d , κ r f , κ u f ). κrdκrf는 재하 (Reloading)시 발생하는 핀칭을 담당한다. κrdκrf가 정의된 경우에는 하중-변형 응답이 (κrdθmax, κrfMmax)을 지나간다 (Fig. 2). θmaxMmax는 각각 현재 해석 단계 (Analysis step)에서 관측된 최대변형과 모멘트이다. κuf는 제하 (Unloading)시 발생하는 핀칭을 담당하며, Fig. 2와 같이 뼈대곡선의 M3 (Fig. 1)을 바탕으로 계산된다. 핀칭매개변수는 0부터 1사이의 값을 가지 며, 값이 0인 경우에는 Fig. 2의 파선과 같이 핀칭이 발생하지 않는다.

    Pinching4 모델은 재하강성 (Reloading stiffness), 제하강성 (Unloading stiffness) 그리고 강도손상을 고려할 수 있다 (Fig. 3). 사이클마다 발생하는 손상 정도는 손상변수 (0≤δ≤1)로 표현된다. 0은 손상이 발생하지 않았을 때, 1은 손상이 최대로 발생한 때를 의미한다. 사이클마다 누적되는 손상변 수의 증가 정도 (Degree)는 식 (1)에 사용된 손상매개변수에 의해 결정된다.

    δ = δ d + δ e = α d 1 ( θ max θ 4 ) α d 2 + α e 1 ( E E t ) α e 2
    (1)

    여기서 ΣE는 누적에너지소산량, Et는 원점부터 뼈대곡선 Point 2 (Fig. 1) 까지의 내부 면적이다. 사이클마다 발생하는 실제 실험체의 강도손상, 재하 강성손상, 제하강성손상을 정확히 모사하려면 식 (1)에 사용된 변위기반 손 상매개변수 (αd1, αd2)와 에너지기반 손상매개변수 (αe1, αe2)에 적절한 값 을 대입해야 한다. 식 (1)을 통해 계산된 δ를 식 (2)에 대입함으로서 손상후 응답을 계산할 수 있다.

    x s i m = ( 1 δ ) · x s i m
    (2)

    xsim x s i m 은 각각 손상전응답과 손상후응답을 의미하며, Fig. 3과 같 이 강도 (M), 제하강성 (U), 재하강성 (R)에 대해 정의된다. "sim"은 모사 결과를 뜻한다. xsim-M 은 뼈대곡선의 모멘트, xsim-U은 뼈대곡선상의 초 기강성 (=M1/θ1), xsim-R은 Fig. 3에 나타나 있다.

    4. RC 기둥 데이터베이스

    실제 비연성 RC기둥의 응답과 유사한 모사결과를 얻기 위한 모델매개 변수 값은 실험체와 수치모델의 하중-변형 응답을 비교함으로서 결정할 수 있다. 이를 위해 과거 연구자들의 RC기둥 실험 결과 중, 전단균열로 인해 내 력저하가 발생한 40개의 실험체를 Table 2에 수집하였다. 여기서 b, h는각 각 기둥단면의 폭과 높이, a는 전단경간, s는 횡방향 철근의 중심간격, ρl은 길이방향 철근비, ρt는 횡방향 철근비, ν ( = P / A g f c ) 는 기둥 단면에 작용하 는 축력과 축내력의 비율, fck는 재령 28일 후 측정된 콘크리트 공시체의 압 축강도, fylfyt는 각각 인장실험에서 측정된 길이방향, 횡방향 철근 시험 편의 항복강도이다. 본 연구에서는 비연성 RC기둥의 전단균열로 인한 내 력저하에 집중하였기 때문에 겹침이음파괴 [6], 길이방향 철근의 좌굴, 휨 파괴가 발생한 실험체는 고려되지 않았다. 또한 비연성 RC건물에는 단면 이 직사각형인 기둥이 주로 쓰이므로 단면이 원형인 실험체 [29, 30]는 제 외되었다.

    5. 해설모델매개변수 계측 (Calibration)

    5.1 뼈대곡선매개변수 계측

    수치모델의 뼈대곡선매개변수는 단조가력 실험체의 하중-변형 응답으 로부터 결정하는 것이 이상적이다 [13, 40]. 하지만 단조가력 실험체는 소 수에 불과하기 때문에 [40] 본 연구에서는 반복가력 실험결과로부터 반복 포락곡선 (Cyclic envelope curve)을 생성하여 뼈대곡선을 추정하는 방법 [11], [13], [14]을 사용하였다. 반복포락곡선은 사이클별 최대변형 도달지 점을 이어서 생성하였으며 [22, 40], 이를 이용한 뼈대곡선매개변수 계측 절차는 Fig. 4와 같다. 모델매개변수 계측 결과는 Table 3에 정리되어 있다.

    Point 1 (θ1, M1)은 원점과 반복포락곡선상의 한 점을 이은 할선강성 (Secant stiffness)이 초기 할선강성의 30%만큼 저하되는 순간의 하중과 변형으로 결정하였다 [41]. 초기 할선강성은 원점과 첫번째 가력 사이클내 의 최대변형 도달시의 하중과 변형를 잇는 직선의 기울기이다.

    k1은 원점과 Point 1을 잇는 직선의 기울기, k2는 Point 1이후에 관측된 사이클의 접선기울기 (Tangential stiffness), k3는 반복포락곡선이 최대하 중에 도달하기 직전의 접선기울기이다. Point 2 (θ2, M2)는 Point 1으로부 터 기울기 k2를 가지는 직선과 (θ3, V3)에서 기울기 k3를 가지는 직선이 교 차하는 지점으로 결정하였다.

    Point 3은 실험체의 하중-변형 응답에서 연화가 시작되는 지점, Point 4는 연화응답이 발생한 사이클의 음강성을 연장하여 내력이 0에 도달하는 지점 으로 결정하는 것이 일반적이다 [13], [40], [42]. 그러나 Table 1에서 뚜렷한 연화응답이 발생하여 실험이 종료된 실험체는 4개 (ly2clh18, ly3smd12, sezen1, sezen4)에 불과하다. 따라서 36개의 실험체에 대해서는 명확한 연 화 시점을 알 수 없으므로, 다음과 같이 Point 3, 4를 가정하였다. Point 3 (θ3, M3)는 반복포락곡선의 최대하중 도달 지점에서 기울기 k3을 가지는 직선이 실험 종료시 실험체에 가해진 최대 변형 (θf)과 교차하는 지점을 이 라고 가정하였다. 단조가력 실험시, 연화응답으로 인해 내력이 0에 도달하 였을 때의 변형은 실험이 종료되었을 때의 최대변위비 (θf)보다 클 것이라 고 추측할 수 있다 [13, 42]. 따라서 θ4=1.1θ3로 가정하였다.

    5.2 핀칭매개변수 계측

    핀칭매개변수는 계측 절차는 Fig. 5와 같다. 실험체의 사이클별 하중-변 형 응답을 해당 사이클의 최대 하중 (Mmax) 및 최대 변위비 (θmax)로 정규 화한다. 정규화된 사이클별 하중-변형 응답의 내부 면적과 유사해지는 핀칭 매개변수를 찾는다. 핀칭은 RC기둥의 균열 여닫힘에 의해 생기는 현상이 며 [16], 균열이 심해지는 최대내력 이후에 핀칭이 더 명확하게 나타난다. 따라서 최대내력 이후 계측된 핀칭매개변수의 평균값을 최종적인 핀칭매 개변수의 계측 값으로 결정하였다.

    5.3 강도 및 강성저감 매개변수

    식 (2)에서 손상후응답 ( x s i m )이 실험체의 응답 (xexp)과 유사할수록 정확한 손상매개변수가 모델에 입력되었다고 할 수 있으므로 x s i m xexp 와 동일하다고 가정하였다. 따라서 xexp를 식 (2)의 x s i m 에 대입하고 손상 변수(δ)에 대해 수식을 정리하면:

    δ exp = 1 x exp x s i m 1.0
    (3)

    δexp는 식 (1)로 계산된 해석결과의 손상변수와 동치이므로,

    α d 1 ( θ max θ 4 ) α d 2 + α e 1 ( E E t ) α e 2 = 1 x exp x s i m
    (4)

    xsimxexp는 강도 (M), 제하강성 (U), 재하강성 (R) 3가지 경우가 존 재한다. “exp”는 실험결과를 뜻한다. 식 (4)를 만족시키는 손상매개변수 또 한 이들 각각에 대해 결정하여야 하므로 총 12개 (4×3)의 손상매개변수가 실험체로부터 결정되어야 한다. 하지만 식 (4)는 미분불가능하므로, 12개 의 손상매개변수를 찾기 위해서는 최적화기법이 필요하다. 미지수 (손상매 개변수)가 많아질수록 식 (4)의 해(손상매개변수의 값)를 찾는 시간이 길어 지며 유일해를 찾기 힘들어 지는데, 이는 식 (4)를 만족시키는 손상매개변 수 조합이 수없이 많을 수 있기 때문이다. 따라서 식 (4)의 손상매개변수 간 소화가 필요하다. Lignos and Krawinkler [11], Haselton et al. [13]는 αe1 만을 사용하여 실험체의 하중-변형 응답을 정확하게 모사하였으며, 본 연구 에서도 이와 동일하게 식 (4)를 식 (5)와 같이 간소화 하였다.

    α e 1 ( E E t ) = 1 x exp x s i m
    (5)

    손상매개변수가 12개에서 3개 (강도, 재하강성, 제하강성에 대해 각각 1 개씩)로 줄었으므로 매개변수 탐색시간이 줄어들었고 유일해를 찾을 수 있 다. 이와 같은 간소화 방법은 강구조 모멘트 접합부 [11]와 휨파괴가 발생한 RC기둥 [13]에 대해서만 수행되었기 때문에 전단파괴가 발생한 비연성 RC기둥 실험체의 하중-변형응답 모사에 대한 적합성을 검토해 보아야 한 다. Fig. 6은 38개 실험체에서 계산된 Eeq5/Eeq4을 비교한 그림이다. Table 2의 실험체 중, sezen2, sezen4 실험체는 단조가력하에 실험되었기 때문에 손상매개변수를 결정할 수 없어 제외되었다. Eeq4Eeq5는 각각 식 (4)와 식 (5)를 만족시키는 손상매개변수를 이용하여 모사한 하중-변형 응답 내 부의 에너지 소산량을 의미한다. Eeq5 /Eeq4의 중앙값은 0.98, 표준편차는 0.04로 매우 작은 차이를 보였다. 따라서 본 연구에서는 식 (5)를 사용하여 도 비연성 RC기둥의 응답을 정확히 모사할 수 있다고 결론지었다.

    Fig. 7은 식 (5)를 만족시키는 αe1를 비교해본 결과이다. αe1-U, αe1-R, αe1-M는 각각 제하강성, 재하강성, 강도 손상매개변수를 의미한다. αe1-U/αe1-M의 중앙값은 1.01, 표준편차는 0.13으로 서로 매우 유사한 값을 가지는 것으로 나타났다. αe1-R /αe1-M의 중앙값은 0.02로 모사 결과 에 영향을 끼치지 않는 것으로 나타났다. 이것은 Pinching4 모델에 가해지 는 변형이 커짐에 따라 재하강성 (xsim-R)의 기울기가 작아지는 특성 때문 인 것으로 나타났다 (Fig. 3). 결론적으로 αe1-U=αe1-M, αe1-R = 0을 가 정하여 손상매개변수를 결정하였다.

    6. 모델매개변수 예측식 개발

    계측된 모델매개변수는 기둥 실험체의 물리매개변수에 따라 변화하는 것을 확인하였다 (Table 3). 따라서 이번 절에서는 물리매개변수에 따른 모 델매개변수 예측식을 경험적 근거를 토대로 제안하였다. 예측식의 제안에 앞서, 이전 연구자들이 수행한 연구를 토대로 비연성 RC기둥의 응답과 관 련이 있다고 여겨지는 물리매개변수들 [3], [13, 14], [16-19]을 다음과 같 이 수집하였다: Table 2에 나열된 ρl, ρt, ν, fck, fyl, fyt, 그리고 기둥의 길이 (L, mm), 전단경간비 (a/d), 횡방향철근 간격대 기둥단면 유효깊이비 (s/d), 축강도에 대한 길이방향 철근강도 기여비 (fylAsl/fcAg), 축강도에 대한 횡방향 철근강도 기여비 (fytAst/fcAg), 횡방향 철근 단면적에 대한 기 둥단면적비율 (Ast/Ag), ρl/ρt, 길이방향철근 좌굴 계수 ( s f y l / D l , MPa) 등이 있다. Dl은 길이방향 철근의 지름이다. 이 외에도 구조기준 [43, 44]에 명시된 공칭전단강도 (Vc, Vs, Vn, kN)와 공칭전단응력 (τ = Vn/Ag, MPa) 또한 고려하였다.

    모델매개변수와 통계적 유의성 (Statistically significance)을 보이는 물리매개변수를 선정하기 위해 단계적 회귀분석을 수행하였다. t검정을 통 해 나온 p값이 5%이하인 경우 통계적으로 유의한 매개변수로 선택하었다. 개발된 뼈대곡선매개변수 예측식은 과거 연구를 참고하여 [11, 13] 식 (6, 7)과 같이 곱셈형태로 제안하였다. 이들 수식에 사용된 계수 (ai)는 Table 4 에 제시되어 있다. θ1, θ2, θ3의 예측식은 할선강성 (Mi/θi)의 형태로 제안 하였다. 이전 절에서 M4는 0, θ4는 1.1θ3으로 결정했으므로 예측식을 제안 하지 않았다. 뼈대곡선매개변수 예측식의 결정계수 (R²)는 대부분 0.9이상 으로, 높은 정확도를 보였다.

    M i = a 0 ( b ) a 1 ( h ) a 2 ( L ) a 3 ( ρ l ) a 4 ( ρ t ) α 5
    (6)

    M i / θ i = a 0 ( b ) a 1 ( h ) a 2 ( ν + 0.1 ) a 3 ( ρ t ) a 4 ( a d ) α 5 ( τ 31.62 f c ) α 6
    (7)

    손상매개변수와 핀칭매개변수 예측식은 각각 식 (8)과 식 (9)-식 (11)에 제시되어 있다. 핀칭매개변수 예측식은 식 (6, 7)과 같은 형태로 제안해 보 았으나, R²이 0.19~0.29 수준으로 매우 낮았다. 핀칭매개변수 예측식의 R² 을 향상시키고자 과거 연구 [16, 17]를 참고하여 식 (9)-식 (11)과 같이 덧셈 형태로 제안하였다. 식 (8)-식 (11)의 R²은 각각 0.57, 0.41, 0.60, 0.56로 나타났다. 핀칭은 횡방향 보강근, 균열의 크기, 피복에 발생한 손상정도, 실 험체에 가해진 하중이력 등이 복합적으로 작용하여 나타난 고도의 비선형 거동이기 때문에 다른 매개변수에 비해 예측이 어려워 R²이 낮은 것으로 판 단된다 [16]. 모델매개변수 예측식으로 계산된 값과 실험체로부터 계측된 값 (Table 3)은 Fig. 8에 제시되어 있다.

    a e 1 f = e 5.82 ( A s l f y l A s t f y t ) 1.57 ( V s V n ) 1.15 ( f y l 1000 ) 3.18
    (8)

    κ r d = 1.11 + 27.80 ( ρ t ) 0.50 e ν + 0.14 ln ( s f y l 31.62 D l ) 1.12 ( f y l 1000 )
    (9)

    κ r f = 0.67 + 0.43 ( s d ) + 14.52 ( ρ l ) + 41.09 ( ρ t ) + 0.75 ( f y l 1000 )
    (10)

    κ u f = 0.80 + 23.23 ( ρ t ) 8.38 ( A s t f y t A g f c ) + 1.96 ( f y t 1000 )
    (11)

    7. 모델매개변수 예측식의 정확도 평가

    7.1 하중-변형 응답 모사 결과

    모델매개변수 예측식의 정확도를 검증하기 위해 Table 1에 포함되지 않 은 연구자 [45]가 수행한 실험체에 대한 하중-변형 응답 모사 결과를 실험 결과와 비교하여 Fig. 9에 나타냈으며, 해당 실험체들의 주요 물리매개변 수는 Table 5에 제시하였다. Fig. 9를 보면, 모델매개변수 예측식 개발에 사 용되지 않은 물리매개변수임에도 모사결과의 초기강성, 최대내력, 강도저 하, 강성저하, 핀칭이 실험결과와 유사한 것을 확인할 수 있었다.

    7.2 모델매개변수 예측 오차의 통계적 평가

    모델매개변수 예측 오차를 정량적으로 살펴보기 위해 QF, QD, QK, QE, QT와 같은 5가지 오차지표를 계산하였다. QF, QD, QK, QE는 각각 모사결 과와 실험결과의 최대내력 비율 (Mmax-sim/Mmax-exp), 최대내력시의 변 형 비율 (θmax-sim/θmax-exp), 초기강성 비율 (ksim/kexp), 누적 에너지소 산량 비율 (=ΣEsim/ΣEexp)이다. 이 값들은 1.0에 가까울수록, 그리고 표 준편차가 작을수록 모사결과가 실험결과와 유사함을 의미한다. QT는 AMD Ryzen7 1700X CPU로 수치해석이 완료될 때까지 소요된 시간을 뜻한다.

    오차지표는 Table 2의 실험체를 대상으로 계산하여 Fig. 10과 같이 상 자그림으로 나타냈다. 객관적인 오차지표 비교를 위해 본 연구에서 제안한 수치모델 (Model-P)과 Table 1a, b, c의 수치모델 (각각 Model-E, L, H) 를 함께 나타내었다. 수치모델에 요구되는 모델매개변수, 재료강도, 축력 등은 Table 2에 나열된 값을 사용하였다.

    QF의 중앙값은 모든 수치모델이 10% 이내의 오차율을 보였으며 수치 모델간의 표준편차 차이가 크지 않았다. 가장 큰 중앙값 오차를 보인것은 Model-L (9%)이었으며 가장 작은 오차를 보인 것은 Model-P (3%)였다.

    QD의 경우, 모든 수치모델에서 QF보다 높은 표준편차를 보였다. 중앙 값의 경우 집중소성모델 (Model-H, P)이 분산소성모델 (Model-E, L)보다 낮은 오차를 보였다. Model-P의 QD 중앙값과 표준편차는 각각 0.95, 0.37 로 다른 모델보다 가장 정확하였다.

    모든 수치모델이 초기강성을 과소평가하였다 (QK ≤ 1.0). Model–H 의 QK 중앙값 오차 (0.57)는 다른 수치모델보다 컸으나, 표준편차는 0.22 로 가장 작았다. Model-L은 가장 복잡한 초기강성 저하 모델이 사용되어서 QK 중앙값 오차가 0.06으로 가장 낮았지만, 표준편차는 가장 컸다. Model-P의 경우 2번째로 낮은 QK 중앙값 오차를 보였다.

    QE는 모든 수치모델이 실제보다 과다 예측하였다. 또한 핀칭을 고려할 수 있는 Model-L, P가 고려할 수 없는 Model-E, H에 비해 더 정확한 누QE 를 예측하였다. Model-P는 QE의 표준편차 (0.30)가 가장 낮았고, 2번째로 정확한 QE 중앙값 (1.10)을 보였다. 이것은 초기강성을 예측 오차가 누적 되어 발생한 결과로 나타났다.

    QT는 수치모델의 복잡성과 비례하여 증가하였다. 수치모델은 Model- H, P, E, L의 순서로 복잡해지며, QT 중앙값 또한 이와 비례하여 증가하였 다. Model-H와 P에 쓰인 절점과 요소의 수는 동일하지만, 회전스프링의 계 산량이 차이 (핀칭과 강성손상 고려 유무, 뼈대곡선의 복잡성)로 인해 Model-H가 P보다 다소 빠른 것으로 나타났다.

    8. 요약 및 결론

    본 연구에서는 전단균열로 인한 내력저하가 발생한 RC기둥의 하중-변 형 응답을 예측하기 위한 수치모델을 제안하였고, 정확한 모사 결과를 위한 모델매개변수 예측식을 제안하였다. 제안된 수치모델은 계산시간의 최소 화 및 기존에 사용되던 성능평가 기준 [22, 23]과의 호환성을 위해 집중소 성모델과 같은 형태를 채택하였다. 비선형 거동이 집중되는 회전스프링은 Pinching4 모델 [12]을 이용하여 기둥의 단부에 설치하였다. 정확한 모사 결과를 얻기 위한 모델매개변수 값을 계측하기 위해 전단균열로 인한 내력 저하가 발생한 40개의 기둥실험체를 과거 연구로부터 수집하였다. 수집된 실험체는 직사각형 단면을 가지며, 일방향 하중하에 실험된 실험체들에 국 한된다. 최종적으로 기둥의 물리매개변수를 통해 모델매개변수를 예측할 수 있는 경험식을 제안하였다. 본 연구로 인해 얻은 결론은 다음과 같다.

    • 1) 에너지기반 손상변수만으로도 전단균열로 인해 내력저하가 발생한 RC기둥의 응답을 정확하게 모사할 수 있었다.

    • 2) 제하강성손상은 강도손상과 유사한 수준으로 발생했다. 재하강성은 매 사이클마다 0에 가까운 손상정도를 보였다.

    • 3) Model-P는 최대 내력과 그에 해당하는 변형을 예측함에 있어 과거 연구 (Model-E, L, H)에 비해 우수함을 확인하였다. 초기 강성 예측 오차 중앙값은 Model-L이 가장 작았으며, Model-P가 그 뒤를 이었 다. 이것은 Model-L이 가장 복잡한 형태의 초기강성저하 모델을 사 용하였기 때문이다. 초기강성 예측 오차의 표준편차는 Model-P가 Model-L보다 작은 것으로 확인되었다.

    • 4) 누적 에너지소산량 오차 중앙값의 경향도 초기강성 예측 오차에서 보 인 경향과 유사하였다. Model-L이 가장 작았으며, Model-P가 그 다 음이었다. 이것은 초기강성 예측에서 오차가 누적되었기 때문이다. 표준편차는 Model-P가 Model-L보다 작은 것으로 확인되었다.

    • 5) 해석시간은 모델의 복잡성과 직접적으로 연관된다. 따라서 가장 많은 절점과 요소가 사용된 Model-L의 해석시간은 Model-P보다 3.5배 큰 것으로 확인되었다.

    • 6) 종합적으로 살펴보면 본 연구에서 제안된 수치모델 (Model-P)의 오 차지표 중앙값이 1.0에 가장 가까웠으며 표준편차 또한 가장 작으므 로, Model-P가 다른 수치모델에 비해 높은 정확도를 보인다고 할 수 있다.

    • 7) 본 연구에서 제안된 모델매개변수 예측식은 경험적 근거를 바탕으로 제안되었다. 따라서 예측식의 정확성 및 범용성을 향상시키기 위해 서는 더 많은 수의 기둥실험체가 고려되어야 할 것이다. 특히 초기강 성 예측 정확도는 추후 연구에서 향상되어야 할 것이다.

    • 8) 기둥의 전단내력을 급격히 변화시키는 요인 (구속기둥효과 등)이 존 재할 경우에는 Model-H, P와 같이 전단스프링이 포함되지 않은 수 치모델 사용에 주의해야한다

    / 감사의 글 /

    본 논문은 한국연구재단의 지원 (NRF-2017R1A2B3008937)에 의하 여 수행된 것으로 이에 감사를 표함.

    Figure

    EESK-23-2-119_F1.gif

    Monotonic backbone curve for the Pinching4 model

    EESK-23-2-119_F2.gif

    Pinching parameters and their corresponding behaviors

    EESK-23-2-119_F3.gif

    Damage parameters and their corresponding behaviors

    EESK-23-2-119_F4.gif

    Backbone curve parameter calibration

    EESK-23-2-119_F5.gif

    Pinching parameter calibration

    EESK-23-2-119_F6.gif

    Comparison of model error (energy dissipation)

    EESK-23-2-119_F7.gif

    Comparison of αe1/αe1-M

    EESK-23-2-119_F8.gif

    Predicted versus calibrated model parameters

    EESK-23-2-119_F9.gif

    Comparison of simulated and tested load-deformation response

    EESK-23-2-119_F10.gif

    Statistical comparisons of the simulated and tested load-deformation response for various models

    Table

    Definition of damage patterns in domestic substations for earthquake loss estimation

    Important physical parameters of the collected non-ductile RC column specimens

    Calibrated model parameters

    Fitted regression coefficients

    Important physical parameters of the collected non-ductile RC column specimens

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