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ISSN : 1226-525X(Print)
ISSN : 2234-1099(Online)
Journal of the Earthquake Engineering Society of Korea Vol.24 No.5 pp.219-232
DOI : https://doi.org/10.5000/EESK.2020.24.5.219

Extended Slip-Weakening Model and Inference of Rupture Velocity

Hang Choi1)*, Byung-Ick Yoon2)
1)CTO, AIMAC Structure Co. Ltd.
2)CEO, AIMAC Structure Co. Ltd.
*Corresponding author: Choi, Hang E-mail: hchoi01@aimac.co.kr
June 15, 2020 August 3, 2020 August 3, 2020

Abstract


The slip-weakening model developed by Ohnaka and Yamashita is extended over the breakdown zone by equating the scaling relationships for the breakdown zone and the whole rupture area. For the extension, the study uses the relationship between rupture velocity and radiation efficiency, which was derived in the theory of linear elastic fracture mechanics, and the definition of fmax given in the specific barrier model proposed by Papageorgiou and Aki. The results clearly show that the extended scaling relationship is governed by the ratio of rupture velocity to S wave velocity, and the velocity ratio can be determined by the ratio of characteristic frequencies of a Fourier amplitude spectrum, which are corner frequency, fc, and source-controlled cut-off frequency, fmax, or vice versa. The derived relationship is tested by using the characteristic frequencies extracted from previous studies of more than 130 shallow crustal events (focal depth less than 25 km, MW 3.0~7.5) that occurred in Japan. Under the assumption of a dynamic similarity, the rupture velocity estimated from fmax/fc and the modified integral timescale give quite similar scale-dependence of the rupture area to that given by Kanamori and Anderson. Also, the results for large earthquakes show good agreement to the values from a kinematic inversion in previous studies. The test results also indicate the unavailability of the spectral self-similarity proposed by Aki because of the scale-dependent rupture velocity and the rupture velocity-dependent fmax/fc; however, the results do support the local similarity asserted by Ohnaka. It is also remarkable that the relationship between the rupture velocity and fmax/fc is quite similar to Kolmogorov’s hypothesis on a similarity in the theory of isotropic turbulence.



Slip-Weakening 모델의 확장과 단층 파열속도의 추정

최 항1)*, 윤 병익2)
1)(주)아이맥스트럭처 기술연구소장
2)(주)아이맥스트럭처 대표이사

초록


    Ministry of Land, Infrastructure and Transport
    20RERPB099826-05

    1. 서 론

    최근 국내에서 발생한 지진에 의해 구조물에 손상이 발생하는 등 그 어 느 때 보다 지진에 관한 관심이 높아지고 있다. 한편 우리나라와 같이 단층 활동이 활발하지 않은 지역의 경우 지진위험도를 평가하는데 필요한 충분 한 지진기록의 확보가 어려운 측면이 있으며, 이는 합리적인 내진설계를 위 한 지진하중 평가에 큰 걸림돌이 된다. 이러한 문제점은 국내에 국한된 문제 가 아니며, 단층 활동이 활발하지 않은 지역에 있는 모든 나라의 공통된 문 제라고 할 수 있다. 이러한 문제점을 해결하기 위한 하나의 방법으로 북미지 역의 경우 우선 단층 활동이 활발한 서부지역에서 얻은 지진기록의 해석을 통해 지진동 예측 모델 (Ground Motion Prediction Equations, GMPEs) 을 구축하고 이를 단층 활동이 상대적으로 저조한 지역에 수정 적용하는 방 법을 사용하고 있으며, 그 과정에서 장기간 지진이 관측되지 않은 공백 영역 의 불충분한 데이터를 보완하기 위한 수단으로 단층에 대한 기본정보를 가 정한 지진동 시뮬레이션 기술을 활용하고 있다[1].

    지진동 시뮬레이션 기술에 있어서 가장 기본적인 요소라고 할 수 있는 단층에 대한 기본정보는 흔히 지진원 변수 또는 진원변수 (source parameters) 라고 불리는 것들인데, 지진의 크기를 나타내는 지진 모멘트의 구 성변수인 단층 면적, 단층의 평균 변위 그리고 단층 파열 시 응력의 변화 또 는 응력과 변위와의 관계를 나타내는 구성 관계 (constitutive relationship) 등을 들 수 있다. 이들 변수는 단층 주변 재료의 역학적 특성을 나타내는 전 단탄성계수와 탄성파 속도와 함께 단층 파열과 관련된 정적 동적 특성을 나 타낸다. 한편 지진동은 단층 주변에 축적된 탄성변형 에너지가 단층의 역학 적 특성에 따라 파괴 에너지 (fracture energy)와 열에너지 (heat energy), 그리고 지진파 방사 에너지 (radiation energy) 등으로 소비되는 과정에서 발생하는데, 그 특징은 단층의 변위, 속도 또는 가속도 스펙트럼 특성으로 기술된다. 변위 스펙트럼은 일반적으로 코너 진동수 fc 이상의 진동수 영역 에서 진동수의 –2승에 비례해 감쇄하는 ω2 모델이 적합한 것으로 알려져 있 다[2]. 따라서 내진설계를 위한 지진동의 특징을 규정하기 위해서는 정적인 진원변수와 함께 ω2 모델의 변수인 코너 진동수를 함께 고려해야 한다. 이 들 변수의 상호관계는 스케일링 모델 또는 스케일링 법칙 (scaling laws)에 의해 결정되는데, 변수의 스케일 의존성, 즉 변수의 지진 크기에 대한 의존 여부에 따라 자기 유사성 (self-similarity)의 성립 여부가 결정된다. 자기 유사성은 진원변수의 상호관계를 나타내는 스케일링 법칙이 일정한 무차 원수에 의해 표현될 수 있음을 의미한다[3]. 1967년 Aki[4]에 의해 스펙트 럼에 대한 자기 유사성이 제안된 이래 지금까지 많은 논의가 있었지만, 성립 여부에 대한 명확한 결론은 아직 없는 상황이며, 여전히 의논이 계속되고 있 다. 이러한 의논에서 가장 일반적으로 사용되는 스케일링 모델은 Eshelby[5] 와 Keylis-Borok[6]에 의한 2차원 파동방정식의 해에 원형 단층에 대한 원 거리 장에서의 변위 스펙트럼 모델과 관련한 Brune[7]의 가정을 적용한 것 이다. Brune은 유한한 원형 단층에 전단응력 pulse를 순간적으로 적용하 고, 원거리 장 S파 변위 스펙트럼을 진동수 0에 대한 이론 해와 비교하여 변 위 스펙트럼의 코너 진동수 fc에 대한 무차원수를 제시하였으며, Kanamori and Anderson[8]은 무차원수가 일정할 때 동적 유사성(dynamic similarity) 이 성립한다고 하였다. 그러므로 Brune의 fc에 대한 무차원수를 적용한 스 케일링 모델은 단층 파열속도가 지진의 크기와 상관없이 일정하다는 의미 를 내포한 것이 된다. 본 논문에서는 이 모델을 Eshelby-Brune의 모델 (이 하 EBM)이라고 부르기로 한다. 이 스케일링 모델이 갖는 한 가지 문제는 2 차원 파동방정식의 해가 갖는 불연속성이다. 2차원 파동방정식의 해에서는 단층 경계에서 응력과 단층의 미끄럼 속도가 발산하는 특이점을 갖고 있다. 이 문제점은 오래전부터 지적되었는데, 응력과 미끄럼 속도의 특이점은 선 형탄성 파괴역학 (Linear Elastic Fracture Mechanics, LEFM)의 균열 선 단 영역 (process zone, cohesive zone 또는 breakdown zone)에 관한 이 론과 모델을 통해 해결할 수 있음이 널리 알려져 있고[9], 균열 선단 영역에 서의 응력과 변위와의 관계를 slip-weakening (friction) 모델 (이하 SWM) 이라고 한다. Ohnaka and Yamashita[10] (이하 OY89)는 화강암을 이용 한 실내실험과 이론해석을 통해 균열 선단 영역에서의 응력과 변위와의 구 성 관계 모델을 제시하고, 이를 이용한 이론해석을 통해 얻은 스케일링 모델 과 지진파의 역 해석을 통해 얻은 진원변수와의 비교를 통해 그 타당성을 보 였다. 그러나 균열 선단 영역의 특징을 나타내는 진원변수와 단층 파열 면 전체에 대한 진원변수와의 관계는 여전히 불명확한데, 이들 진원변수 간의 관계를 밝히지 못한다면 서로 별개의 불완전한 모델로 남게 된다.

    한편, Abercrombie and Rice[11]가 언급한 것처럼 일정한 단층 파열속 도를 가정하는 것이 적절하다고 하더라도 동적 유사성의 유효성을 입증하 기 위해서는 스펙트럼의 고진동수 영역의 차단진동수 fmax가 진원의 특성 에 의한 것인지 아니면 관측점 부근의 지반 특성에 의한 것인지에 대한 결 론이 필요하다. 이 문제는 Hanks[12]에 의해 fmax의 존재가 알려진 이래 여전히 명확한 결론이 없이 연구자에 따라 서로 다른 입장이 견지되고 있 다. 반면, 단층의 파열과정은 크게 3단계로 나누어 볼 수 있는데, 1) 최대 응 력 이전 단계에서 미세균열의 발생 및 결합으로 균열이 준 정적으로 확장 되는 과정과 그 이후 균열의 발생속도가 가속화되는 파열 핵 형성단계 (rupture nucleation phase), 2) 최대 응력 도달 후 균열 면이 일정한 속도로 확장되는 단계 (rupture propagation phase), 그리고 3) 최종적으로 균열 면의 확장이 멈추는 단계 (rupture arrest phase)다[2, 13]. 여기서 1단계의 파열 핵 형성과정은 2단계의 고속 동적 균열 확장과정과의 경계에서 발생 하는 임계 균열 길이에 의해 구분하는데, Papageorgiou and Aki[14]는 specific barrier 모델에서 단층 파열속도와 이 임계 균열 길이와의 비를 이 용하여 차단진동수 fmax를 정의하였다. 한편, fmax 이상의 진동수 성분은 새 로운 균열의 발생과 기존 균열과의 통합과정에서 마찰로 인해 에너지가 열 로 변환되어 소비되는 성분들로 볼 수 있다[13, 15]. 따라서 지진동의 스펙 트럼은 fmax를 경계로 energy partition이 형성된다고 생각할 수 있고[16], fmax와 단층의 파열속도에 의해 정의되는 파장은 국소등방성 난류 (local isotropic turbulence)에 관한 Kolmogorov의 가설 중 dissipation scale [17]에 해당한다고 볼 수 있다. 만약 fmax/fc가 지진의 크기에 의존한다면 전 진동수 대역에 대한 자기 유사성은 성립하지 않고, Ohnaka[13]가 주장한 국소유사성이 설득력을 얻게 된다.

    본 논문에서는 균열 선단 영역에 대한 OY89의 스케일링 모델을 LEFM 이론에서 제시한 단층의 파열속도와 지진파의 방사 효율 (radiation efficiency) 과의 관계 및 Papageorgiou and Aki의 fmax를 이용하여 원형 단층 전체로 확장하고 (이하 확장된 SWM), 이를 통하여 fmax/fc와 단층의 파열속도와의 관계를 도출하였다. 또한, 현재 가장 일반적으로 사용되고 있 는 EBM의 문제점과 본 논문에서 제시한 확장된 SWM과의 차이점에 대해 고찰하였다. 그리고 과거의 연구에서 보고된 MW 3.0~7.5 지진에 대한 fcfmax를 이용하여 단층 파열속도를 추정하고, 그 결과로부터 단층의 파열면 적을 평가하여 기존 이론 식과의 비교를 통해 추정 결과의 타당성을 검토 하였으며, fcfmax에 의한 지진동 스펙트럼의 energy partition 특성과 Kolmogorov의 국소등방성 난류에 관한 가설을 비교하여, 지진동 스펙트 럼의 유사성에 대해 검토하였다.

    2. EBM과 SWM의 확장

    2.1 기본 정의와 동적 유사성

    우선 두 모델을 비교하기 전에 기본적인 물리량에 대하여 정의하기로 한 다. 가장 기본적인 지진 모멘트(Nm)는 다음의 식으로 정의된다.

    M o = μ D A
    (1)

    여기서 μ는 단층 주변 재료의 전단 탄성계수를 나타내고, D는 단층 파열면 적에 대한 평균 변위를, 그리고 A는 단층 파열면적을 나타낸다. 본 논문의 검토대상인 EBM과 SWM에서, 단층의 파열속도에 관한 가정이 서로 다르 므로 각기 다른 평균 변위와 단층 파열면적이 나올 수 있어, 이를 구분하기 위해 아래 첨자를 사용하여 구분하기로 한다. 그리고, 모멘트 규모를 사용 할 때에는 다음 식과 같이 Hanks and Kanamori[18]에 의한 정의를 사용한 다. 본 논문에서 사용하는 log는 특별히 기술하지 않는 한 밑이 10인 상용 대수를 지칭하는 것으로 한다.

    M W = 2 3 log M o 6.03
    (2)

    동적 유사성을 다루기 위해서는 우선 파장 (wavelength)와 파수 (wavenumber)를 정의할 필요가 있다. 파장 λ와 파수 κ 사이의 관계는 λκ =2π, 그리고 시간적 주기 T와 원 진동수 ω와의 관계는 =2π로 정의한다. 임의의 파장 λ1의 속도를 U1이라고 할 때, 주기 T1(=1/f1)은 T1=λ1/U1이 되 고, 파수 κ1κ1=2π/λ1=2πf1/U1=ω1/U1의 관계를 갖는다.

    다음으로 fc에 대한 무차원수 kV를 다음과 같이 정의한다.

    k V = V r V S = f c r c V S
    (3)

    여기서 Vr은 단층의 파열속도를 나타내고, Vs는 단층 주변에서의 S파 속도 를 나타낸다. fc는 지진파의 진폭 스펙트럼으로써 Brune의 ω2모델을 사용 할 때, 모델의 코너 진동수 (㎐)를 나타내고, rc는 원형 단층의 대표적인 거 리로 단층의 반경에 해당한다. 위 식에서 알 수 있듯이, VrkV를 이용하여 kVVs로 정의하고, 코너 진동수 fc는 파장과 파수의 관계로부터 균열이 Vr의 속도로 rc 만큼 확장하기까지 걸리는 시간의 역수가 된다. 즉,

    f c = 1 T c = V r r c
    (4)

    따라서 앞에서 언급한 코너 진동수에 대한 무차원수는 Brune이 가정한 바와 같이 다음의 동적 유사성에 해당하는 관계를 만족하고,

    f c r c V r = f c r c k V V S = 1
    (5)

    무차원수 kV로 2.34/2π≃0.372를 사용한 것이 된다[7]. 그런데 원거리 장 에서의 지진동 관측 결과를 이용한 Vr의 추정 결과는 중규모 이상의 지진의 경우 특별한 경우를 제외하면 Vr=(0.65~0.85)Vs인 것으로 알려져 있다 [19]. 만약 Vr과 Brune의 무차원수가 타당하다면, 식 (5)를 만족하는 시간 스케일은 Tc (=1/fc)와 비교해 훨씬 작아져야 한다. 따라서 식 (5)는 동적 유 사성을 나타내기에 불충분한 식이라고 할 수 있다.

    한편, Mai and Beroza[20]는 단층 파열면적의 추정을 위해 von Kárman 의 자기 상관 함수로 정의되는 상관 거리 (correlation length)를 이용하여, 상관 거리의 제곱이 단층 파열면적과 잘 대응하는 것을 보였다. 이는 원형 단층의 반경이 난류 이론의 적분 거리 스케일 (integral length-scale)에 해 당한다는 것을 의미하는데, 적분 거리 스케일은 Frozen field에 관한 가설 [17]을 적용하면 평균속도와 적분 시간 스케일 (integral timescale)의 곱과 같고, 이것은 일정 속도로 단층 균열이 확장될 때 응력 pulse의 전파해석에 서 흔히 가정하는 Galilean 변환과 같은 물리적 속성을 갖는다. 적분 시간 스케일 Ti는 Wiener-Khintchine의 관계로부터 다음과 같이 정의된다[17].

    T i = 0 R ( τ ) d τ / R ( 0 ) = S D ( 0 ) [ 4 0 S D ( f ) d f ] 1
    (6)

    여기서, SD(f)는 변위의 2면 스펙트랄 밀도함수 (two-sided spectral density function)을, R(τ)는 자기 상관 함수를 나타낸다. 만약 fmax의 존재 여부를 무시하고 상대 변위의 푸리에 진폭 스펙트럼으로 Brune의 ω2모델 을 가정하면, 식 (6)의 Ti는 적분공식에 의해 다음 식으로 나타낼 수 있다.

    T i = 1 π f c 0.32 f c
    (7)

    식 (7)은 GMPEs에서 자주 인용되는 진원에서의 지속시간 (source duration)에 관한 경험식 0.5/fc[21-23]와 비교하면 약 60%에 해당하는데, 이는 식 (7)이 미끄럼 속도 함수 (slip-rate function)의 최대 미끄럼 속도 (Vpeak)로 최대변위에 도달하기까지의 소요시간과 같기 때문이다[24]. 따 라서 여기에서는 Tr에 관한 추정 식으로 2Ti를 가정하기로 한다. 이 가정은 평균 미끄럼 속도가 Vpeak/2와 같음을 의미한다. 이때 진원에서의 지속시간 과 단층의 파열속도의 곱으로 정의되는 원형 단층 파열 면의 반경을 rr이라 하면, 식 (4)와 식 (5)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

    r r = V r T r = k T V r T c = k T r c
    (8)

    f c r c V r = f c r r k T k V V s = f c r r k V s = 1
    (9)

    이상의 고찰에서 알 수 있듯이 본 논문의 주요 쟁점은 무차원수 k=kTkV 의 지진 크기에 대한 독립성 여부와 fmax와의 관계에 관한 것이다. fmax의 영 향을 무시하고 Vr=(0.65~0.85)VskT (=2/π)를 이용하면 무차원수 k는 0.42~0.54가 되는데 이는 Brune이 제시한 무차원수 0.372와 크게 다르지 않음을 알 수 있다. 따라서 동적 유사성을 가정한다면 Brune의 무차원수는 단층의 파열속도와 진원에서의 지속시간에 의존하는 값으로 생각할 수 있 다.

    2.2 Eshelby-Brune의 모델 (EBM)과 자기 유사성

    Poisson 계수가 1/4인 탄성 재료로 구성된 원형 단층을 가정한다. 단층 파열 진행 중의 반경을 r, 종료 후의 반경을 re , 그리고 파괴된 두 단층 면의 미끄럼 변위를 D(r)이라 하고, 파괴가 종료된 단층면의 외부에서의 변위는 0으로 가정한다. 즉 D(rre)=0. 한편 파괴된 단층으로부터 멀리 떨어진 위치에서의 응력 σ0은 일정하다고 보고, 파괴된 단층 내부의 응력 σ(r < re) 을 0이라고 할 때, 파괴된 단층 면의 변위는 다음 식으로 나타낼 수 있다[5, 6].

    D ( r ) = 24 7 π Δ σ e μ r e 2 r 2
    (10)

    여기서, 응력 강하량 Δσeσ0와 같다 (Fig. 1 참조). 한편 단층 면적에 대한 평균 변위 De는 다음 식으로부터 구할 수 있다.

    D e = 24 7 π Δ σ e μ 2 π A e 0 r c r r e 2 r 2 d r = 16 r e 3 Δ σ e 7 μ A e
    (11)

    여기에 A e = π r e 2 을 대입하면 다음과 같은 스케일링 관계를 얻는다

    Δ σ e = 7 π 16 μ D e r e
    (12)

    위 식에서 re = rc이라고 가정하고, 식 (1)의 Mo와 식 (8) 및 식 (9)를 대 입하면 다음과 같은 Δσefc의 관계식을 얻는다.

    Δ σ e = 7 16 M o ( f c k V S ) 3
    (13)

    위의 식에 Brune의 무차원수 (0.372)를 대입하면 다음의 응력 강하량에 대한 식을 얻는데, 이 응력 강하량을 Brune의 유효 응력 (Brune’s effective stress)이라 부르기도 한다[2].

    Δ σ e 8.5 M o ( f c V S ) 3
    (14)

    여기서 언급할 필요가 있는 것은 응력 강하량이 직접 계측 가능한 것이 아니고 스케일링 관계식에 의해 평가되는 값이라는 점과 스케일링 모델에 포함된 무차원수 k가 이론적으로는 단층면에서의 법선 벡터와 관측점 사이 의 각도를 나타내는 파동 방사각 (take-off angle)에 따라 크게 바뀐다는 점 이다. kV=0.9를 가정한 파동방정식의 수치해석 결과, Madariaga[25]는 S 파에 대한 k 값으로 약 0.2~0.5 (평균 0.21)을, Kaneko and Shearer[26]는 0.18~0.72 (평균 0.26)을 얻었다. 이들 무차원수의 평균값은 Brune의 무 차원수와 비교해 약 60~70%에 해당한다. 한편, 이로부터 kT를 환산하면 각각 0.22~0.56 (평균 0.23), 0.2~0.8 (평균 0.29)가 되고, kT의 평균은 진 원에서의 지속시간에 대한 경험 식에서 가정한 0.5, Brune의 ω2모델에 대 한 적분 시간 스케일을 이용해 가정한 2/π와 비교했을 때 약 50%에 해당 한다. 그리고 이들 값은 kV가 작아지면 따라서 작아진다. 따라서 무차원수 로 Madariaga 또는 Kaneko and Shearer의 수치해석 결과를 적용할 경우, 식 (13)에서 얻게 되는 응력 강하량은 Brune의 무차원수를 적용한 경우인 식 (14)에 비해 평균적으로 약 3~5배의 차이가 생기게 되는데, 응력 강하량 의 평가결과는 추정방법에 따라 10배 이상의 차이가 있을 수 있는 것으로 알려져 있다[27]. 이하에서는 무차원수의 파동 방사각에 대한 의존성은 고 려하지 않고 평균값을 사용하기로 한다. 그 이유는 한 개의 지진 event에 대 해 한 관측점의 관측기록으로부터 진원변수를 추정할 경우 불확실성이 커 서 일반적으로 진앙을 중심으로 다양한 거리에 분포한 복수의 관측점 기록 에 대해 stacking 기법을 적용하여 진원변수를 추정하기 때문이다[28].

    식 (13)에서 식 (14)와 같이 무차원수 k를 일정하다고 가정할 때, 응력 강 하량 ΔσefcMo에 의해 결정된다. 만약, f c M o 1 / 3 의 관계가 성립된다 면 Δσe는 일정한 값을 갖고, 이때 자기 유사성이 성립한다고 한다. 한편 Kanamori and Rivera[29]는 신뢰할 만한 과거의 연구 결과를 이용하여 정 적 동적 스케일링 관계에 대한 고찰을 통해 fcMo의 관계에 대한 수정모델 을 다음과 같이 제시하였고, 단층 파열속도의 중요성을 강조하였다.

    f c M o 1 / ( 3 + )
    (15)

    식 (15)는 다양한 연구에 이용되었는데, 예를 들어 Oth et al.[30]은 일본 에서 발생한 1,826개의 지진 event에 대한 약 29,000개 이상의 borehole 계측기록의 해석을 통해, 진원 깊이 30 km 이하의 지진에 대한 ε의 평균± 표준편차로 0.12±0.12, 30km 이상의 경우 0.18±0.08을 제시했고, 이 값들 은 평균적으로 응력 강하량이 지진의 크기에 비례하는 것을 나타낸다. 이 외 에도 Mayeda and Walter[31]는 미국 서부지역에서 발생한 지진에 대해 0.5~1.0의 값을 보였고, Yoo et al.[32]은 한반도에서 발생한 MW<3.5의 지 진을 대상으로 Mayeda et al.의 방법[33]을 적용하여 0.54를 얻었으며, Abercrombie의 소규모지진을 대상으로 한 연구 결과[34]의 경우도 ε이 0.8 이상이 된다[29]. 이처럼 ε이 무시할 수 없을 정도로 큰 경우 자기 유사 성은 성립하지 않는데, 이에 대해 다른 연구자는 이들 연구에서 사용한 기록 이 부족하다거나[35] 유효 진동수 대역폭이 충분하지 못하기 때문[36]이 라는 등 응력 강하량에 관한 스케일 독립성 논란은 여전히 진행 중이다.

    2.3 Slip-Weakening 모델 (SWM)

    SWM과 EBM의 근본적인 차이점은 Fig. 1과 같이 균열 선단 영역에서 의 응력과 미끄럼 속도에 관한 특이점 유무에 있다고 할 수 있다. 앞서 언급 한 바와 같이 EBM이 갖는 균열 선단에서의 특이점 특성은 물리적인 관점 에서 비현실적인데, SWM의 경우 최대 전단 강도 도달 이후 완전 취성재료 에서 흔히 가정하는 것과 같은 급격한 응력의 감소 없이 법선 응력 등에 의 한 영향으로 변형 연화 (slip-weakening)과정을 거치면서 응력이 균열의 확대에 따른 변위의 증가와 더불어 최대 응력에서 잔류응력 또는 0 응력으 로 점진적으로 감소하는 비선형 거동을 나타낸다.

    이와 같은 특징을 나타내는 모델로서 본 논문에서는 OY89[10]에서 개 발된 스케일링 모델을 사용하기로 한다. 그 이유는 지금까지 진행된 다양한 이론 모델의 수치해석 결과와 실내실험 결과가 이 모델과 정합하는 것을 보 여주고 있기 때문이다[37, 38]. 이 모델과 EBM의 차이점을 이해하는 데에 는 모델의 이론적 배경을 간단히 정리하는 것이 도움이 되리라 생각되므로 먼저 그 개요를 살펴보기로 한다.

    우선 단층 면에서의 변위와 응력과의 관계는 다음의 Hilbert 변환으로 나타낼 수 있는데, 이 식은 응력의 진폭 스펙트럼과 미끄럼 속도의 진폭 스 펙트럼이 같다는 것을 나타낸다[3].

    σ ( x ) = μ C ( k V ) P 0 D ( ξ ) x ξ d ξ
    (16)

    여기서 변수 x, ξ는 단층 면 내의 위치를 나타내고, C(kV)는 전단 파괴형식 (in-plane 또는 anti-plane)에 따른 속도계수, P는 균열 때문에 생기는 불연 속면에 대한 불완전 적분을 위한 Cauchy 계수 (Cauchy principal value) 를 나타내며, D′은 변위의 거리 미분 (∂D/∂ξ)을 나타낸다. 변위진폭 스펙 트럼을 결정하는 미끄럼 속도는 식 (16)의 Hilbert 역변환에 Galilean 변환 을 적용해 얻을 수 있다.

    OY89는 단층의 구성재료와 비슷한 물성을 갖는 화강암을 이용한 실내 실험에서 파괴 시작에서 종료에 이르는 과정의 변형률 계측을 통해 전단응 력의 변화를 다음 식으로 나타냈다.

    σ ( D ) = ( σ 0 σ r ) [ 1 + α log ( 1 + β D ) ] exp ( η D ) + σ r
    (17)

    여기서 σ0σr은 각각 초기 응력과 잔류응력을 나타내고, 변수 α, β, η를 통해 응력의 변화 특성을 나타낸다. 위의 식으로부터 알 수 있듯이 최대 응 력 도달 이후의 응력의 위치별 변화는 지수함수에 의해 지배되며, 변수 α, β 에 의해 단층 파열 초기의 속도가 달라지는데, 이것으로 파열 핵 형성단계의 특징을 나타낼 수 있고, EBM의 특징이라고 할 수 있는 균열 선단에서의 응 력의 불연속성이 제거됨과 동시에, Vpeak는 균열 선단이 아닌 균열 내부에서 발생하게 된다. 한편, Matsu’ura et al.[39]은 식 (17)의 [ ]내부를 단순화하 여 α′+βD로 가정하였는데, 이 경우 미끄럼 속도는 Brune의 ω2 모델과 같 은 특징을 갖게 된다.

    OY89는 실내실험 결과를 이용한 식 (17)의 변수추정과 식 (16)의 이론 해석을 통해 다음 식과 같은 균열 선단 영역에서의 스케일링 모델을 도출하 였다. 본 논문에서는 이것을 SWM이라 부르기로 한다.

    Δ σ b = c Γ μ π 2 C ( k V ) D c X c
    (18)

    여기서, Δσb는 최대 응력과 잔류응력의 차 (σp -σr )을 나타내고, breakdown stress drop이라고 부른다. 계수 cΓσpσ0의 비에 따라 변하는 계 수로, 그 변화가 크지 않으므로 여기에서는 1/3을 사용한다. 그리고 XcDc는 각각 균열 선단 영역의 크기와 균열 선단으로부터 Xc 떨어진 위치에 서의 평균 변위인 임계 미끄럼 거리 (critical breakdown slip 또는 slipweakening distance)를 나타낸다.

    속도계수 C(kV)는 파괴 진행 방향에 따라 각각 정의된다. 즉 단층 파열 방향 (in-plane 전단파괴, mode II)의 경우 다음 식으로 정의되고, P파와 SV파와 관련 있다.

    C II ( k V ) = 2 π k V 2 [ 1 k V 2 / 3 ( 1 k V 2 / 2 ) 2 1 k V 2 ]
    (19)

    단층 파열 방향의 직각 방향의 경우 (anti-plane 전단파괴, mode Ⅲ)는 다음 식으로 정의되고 SH파와 관련 있다.

    C III ( k ) = 1 2 π 1 k V 2
    (20)

    한편 단층 파열은 이 들 두 가지 전단파괴 mode 중 어느 한쪽에 의해서 발생하는 것이 아니라, 두 가지 mode의 파괴가 복합적으로 발생하므로, 여 기에서는 두 가지 mode에 대한 속도계수의 중간값에 해당하는 다음 식으 로 C(kV)를 가정하기로 한다. 식 (19)~식 (21)의 관계는 Fig. 2와 같다. 그 림에서 알 수 있듯이 각 파괴형식에 대한 C(kV)의 차이는 크지 않다.

    C ( k V ) = C I I 2 ( k V ) + C I I I 2 ( k V ) 2
    (21)

    2.4 SWM의 확장

    앞에서 언급한 바와 같이 식 (18)은 균열 선단 영역에서의 스케일링 관계 를 나타내는데, 응력 강하량이 균열 선단 영역을 포함한 모든 단층 파열의 구동 응력에 해당하므로, 식 (18)을 단층 파열 면 전체에 대해 확장하면 다 음 식으로 나타낼 수 있다.

    Δ σ b μ = C s D s r s
    (22)

    여기서 아래 첨자 s는 SWM에 의한 값들을 나타내고, Cs는 스케일링 모델 의 계수를 나타낸다.

    위 식에서 좌변의 Δσb/μ는 균열 선단 영역과 단층 파열 면 전체에 있어 서 공통적인 값이므로, 식 (18)과 식 (22)의 우변을 등식 관계로 놓으면 계 수 Cs는 다음과 같이 쓸 수 있다.

    C s = c Γ π 2 C ( k V ) D c / X c D s / r s
    (23)

    한편 위의 식을 평가하기 위해서는 단층 파열과 관련한 에너지 수지를 고려할 필요가 있다. 우선 균열 선단 영역을 포함한 단층 파열 면 전체에 대 한 응력과 변위와의 관계가 Fig.3과 같이 선형모델로 나타낼 수 있다고 할 때, 변형에너지 총량 ΔU는 다음과 같이 단층 파열 면의 확장에 사용된 에 너지를 나타내는 파괴 에너지 EG와 지진파 방사에 사용된 에너지 ER로 나 눌 수 있다. 여기서, 열로 변환되어 소비되는 마찰에너지 EF는 알 수 없으므 로 무시하기로 한다. 즉,

    Δ U = E G + E R
    (24)

    여기서,

    Δ U = 1 2 Δ σ b D s A s
    (25)

    E G = 1 2 Δ σ b D c A s
    (26)

    E R = Δ U E G = Δ U ( 1 E G Δ U ) = Δ U ( 1 D c D s )
    (27)

    이와 같은 선형모델에 의한 에너지 수지 관계는 응력과 변위와의 관계가 비선형이고, 단층 파열속도에 따라 열로 변환되어 소비되는 에너지까지 고 려하면 엄밀하다고 말할 수는 없으나, 지금까지 수행된 이론 연구에서 흔히 사용하고 있고, 실내실험 결과를 이용한 비선형 모델과 비교해 큰 차이가 없 는 것으로 알려져 있다[38, 40].

    한편, 지진파의 방사 효율 ηR은 식 (27)을 이용해 다음과 같이 쓸 수 있고,

    η R = E R Δ U = E R E R + E G = 1 D c D s
    (28)

    식 (23)의 Dc/Ds는 방사 효율 ηR을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

    D c D s = 1 η R
    (29)

    지진파의 방사 효율 ηR은 지진 모멘트 Mo를 이용한 다음 식으로 정의하 기도 한다[2].

    η R = 2 μ Δ σ b E R M o = 2 σ a Δ σ b
    (30)

    여기서 σa는 실효 응력 (apparent stress)를 나타내고, 다음 식으로 정의한다.

    σ a = μ E R M o
    (31)

    한편 Kanamori and Rivera[29]는 ER/Mo를 자기 유사성을 판단하기 위 한 중요한 동적 변수 e ˜ 로 정의하고, 관측기록 해석 결과와의 비교를 통해 ε 과 상관관계가 있음을 보였다. 그리고, 실효 응력이 지진의 크기에 의존하 지 않고, f c M o 1 / 3 의 관계가 성립하더라도 이것이 응력 강하량의 지진 크 기에 대한 독립성을 의미하지 않음을 지적하였다. 이는 식 (30)의 방사 효율 이 지진의 크기에 따라 다를 수 있음을 의미한다. 참고로 EBM의 방사 효율 ηR은 지진의 크기에 상관없이 약 0.47이다[2].

    다음으로, 식 (23)의 균열 선단 영역의 크기 Xc와 원형 단층의 반경 rs와 의 관계는 Papageorgiou and Aki의 fmax의 정의[14]에 식 (9)를 적용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

    r s X c = r s / k V s X c / k V s = f max f c
    (32)

    여기서 한 가지 언급할 필요가 있는 것은 식 (25)의 ΔU에 대한 정의가 일반 적으로 사용하는 것과 다른데, 보통은 초기 응력을 기준으로 한 응력 강하량 Δσe를 이용한다. 만약 단층 파열 면에서 Dc 이후의 잔류응력 σr을 0이라 가정하고, 초기 응력으로부터 최대 응력을 거쳐 최종변위 Dmax에 이르기까 지의 변위 D에 대한 응력의 변화를 함수 τf로 나타내면, 파괴 에너지 EG는 다음과 같이 정의된다[40].

    E G = A d A 0 D max τ f ( D / D c ) d D = D c A 0 1 τ f ( D ¯ ) d D ˜
    (33)

    그리고, Δσe를 이용한 변형에너지 총량을 ΔU′이라 하고, τf의 적분을 Δσb 를 이용한 선형 근사로 평가한다면 방사 효율 ηR ′은 다음과 같이 쓸 수 있다.

    η R = 1 2 Δ σ e D c D s 0 1 τ f ( D ˜ ) d D ˜ 1 Δ σ s Δ σ e D c D s
    (34)

    여기서, Ds는 면적 A에 대한 Dmax의 평균을 나타낸다. 위 식 우변의 응력 강 하량의 비에 대해 Das and Aki[41]의 응력비 S를 적용하면 ηR ′은 다음과 같이 쓸 수 있다.

    η R 1 ( 1 + S ) D c D s , S = σ p σ 0 σ 0 σ r
    (35)

    한편, ηR ′ > 0을 만족하기 위해서는 Dc/Ds < (1+S)-1을 만족해야 하 는데, DcDs는 최대 응력 도달 이후의 응력과 변위에 의한 구성 관계로부 터 결정되므로 식 (18)과 식 (22)에 응력 비 S가 포함되어야 한다. 하지만, OY89에서 지적한 바와 같이, 실내실험에서 σp /σ0에 대해 cΓ가 크게 변화 하지 않고, 실제 지진기록의 해석 결과에 대해서도 식 (18)의 유효성이 검증 되어 식 (18)에 S를 고려할 필요성은 없어 보인다. 한편, Rice et al.[42] 및 Hirano and Yamashita[40]의 이론 연구에 의하면 S는 식 (32)의 rs/Xc와 일정한 함수관계를 갖고 있다. Ohnaka[13]가 제시한 중대형지진에 대한 대표적인 rs/Xc는 약 20인데 이에 대한 이론적인 S값은 약 10이다. 따라서 ηR′ > 0을 만족하는 Dc/Ds는 1/11 이하가 되어야 하지만 실제 지진의 경우 는 약 1/2 전후의 값을 나타내고, 이 경우 식 (35)는 0보다 작게 되어 불합리 한 결과를 보이게 된다. 이는 기준 응력 (reference stress)에 관한 정의가 모 호하기 때문이다. 만약 식 (26)에서 기준 응력을 Δσe로 한다면 이와 같은 불합리한 점은 제거된다. 반면 식 (25)는 σ0에서 σp에 이르는 응력 구간에 서 상대 변위가 대부분 정적 변형에 의한 것이고, 이 변형에 의한 에너지는 전체 변형에너지와 비교해 극히 작은 부분에 지나지 않으며, EGER 모두 최대 응력 σp 도달 이후의 동적 파괴과정에서 본격적으로 증가하기 시작한 다는 점, 그리고 σp는 재료의 역학적 특성에 의해 결정되지만 σ0는 그 값이 명확하지 않다는 점을 고려하면 기준 응력으로 Δσb를 이용한 식 (25)가 합 리적이라고 생각된다.

    식 (29)와 식 (32)를 식 (23)에 대입하면 Cs는 다음과 같이 쓸 수 있다.

    C s = c Γ π 2 C ( k V ) ( 1 η R ) f max f c
    (36)

    3. fmax/fcVr 의존성

    3.1 지진파 방사 효율의 Vr 의존성

    LEFM 이론에 의하면 지진파의 방사 효율 ηR은 단층의 파열속도 Vr에 의해 다음 식으로부터 독립적으로 평가할 수 있다[43].

    η R = 1 g a ( k V )
    (37)

    여기서 ga(kV)는 in-plane과 anti-plane 전단파괴형식 각각에 대해 다음과 같이 정의된다[44-46].

    g a ( k V ) = { 1 k V / 0.92 1 k V , mode II 1 k V 1 + k V , mode III
    (38)

    식에서 0.92는 Poisson 비 1/4을 갖는 재료에 대한 Rayleigh 파의 속도 VR을 0.92Vs로 가정한 것을 나타내며, 본 논문에서 다루는 단층 파열이 Rayleigh파 속도 이하로 발생하는 sub-shear rupture임을 의미한다. 식 (37)에 대해서도 식 (21)의 경우와 같이 중간값에 해당하는 다음 식으로 근 사하여 지진파의 방사 효율을 나타내기로 한다. 즉,

    η R = 1 g ( k V ) = 1 g II 2 ( k V ) + g III 2 ( k V ) 2
    (39)

    식 (38)과 식 (39)를 Fig. 4에 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 식 (39)에 의한 방사 효율은 각 전단파괴형식에 대한 방사 효율과 크게 다르지 않다.

    이상의 식 전개를 통해 SWM의 계수 Csfmax/fc를 제외하고 단층 파열 속도와 S파 속도의 비율을 나타내는 무차원수 kV에 의해 표현되는 것을 알 수 있다.

    3.2 fmax/fcVr 의존성

    다음으로 fmax/fc도 무차원수 kV에 의해 일의적으로 결정될 수 있음을 살 펴보기로 한다. 우선 지진파의 진폭 스펙트럼을 이용한 방사 에너지 ER의 평가에 대해 살펴보기로 한다. 점 진원으로부터 P파와 S파의 형태로 구면 방사를 통해 방사되는 전체 방사 에너지 ER은 시간 영역과 진동수 영역에 서 각각 다음 식으로 평가된다[2].

    E R = 1 4 π ρ ( R p 2 V p 5 + R s 2 V s 5 ) | M ¨ o ( t ) | 2 d t = 1 4 π 2 ρ ( R p 2 V p 5 + R s 2 V s 5 ) ω 2 | M ˙ o ( ω ) | 2 d ω = E p + E s
    (40)

    여기서 ρ는 단층 주변 재료의 밀도를 나타내고, R p 2 , R s 2 은 각각 P파 와 S파 방사 패턴의 2승 평균을, 그리고 Vp, Vs는 각각 P파와 S파의 속도를 나타낸다. 그리고 Mo(t)는 지진 모멘트 방출 속도를 나타내는 진원 시간 함 수 (source time function)이고, Mo(ω)는 Mo(t)의 푸리에 변환, ∙는 시간 미분을 의미한다.

    한편 P파와 S파에 대한 진폭 스펙트럼의 고진동수 영역에서의 감쇄 기 울기가 같다면, P파와 S파에 의한 방사 에너지 비율은 다음과 같다[47].

    E s E p = 3 2 ( V p V s ) 5 ( f c s f c p ) 3
    (41)

    여기서, f c s f c p 는 각각 S파와 P파의 진폭 스펙트럼으로 ω2 모델을 가정할 경우 각 진폭 스펙트럼의 코너 진동수를 나타낸다.

    지진 관측기록을 이용한 식 (41)에 관한 과거의 연구[34]와 Kaneko and Shearer[26], Dong and Papageorgiou[48]에 의한 이론 모델의 수치해석 연구에서 밝혀진 바와 같이 EsEp임을 고려하면, EREs의 근사관계 가 성립한다고 할 수 있다. 따라서 진원 시간 함수로 ω2 모델을 적용하면, 즉

    M ˙ o ( ω ) = M o 1 + ( f / f c ) 2
    (42)

    지진파 방사 에너지 ER은 다음과 같이 쓸 수 있다.

    E R R s 2 4 π 2 ρ V s 5 0 ω 2 | M ˙ o ( ω ) | 2 d ω = π 2 5 μ M o 2 ( f c V s ) 3
    (43)

    여기서 R s 2 은 일반적으로 사용하는 2/5[49]를 가정하였고, S파 속도에 대해서는 V s = μ / ρ 의 관계를 적용하였다.

    식 (43)에 대해, kT에 의한 영향을 배제하기 위해 rc = rs를 가정하고 식 (1)과 (5), 그리고 식 (22)와 식 (25)를 대입하여 정리하면 지진파의 방사 효 율은 다음과 같이 쓸 수 있다.

    η R = E R Δ U 2 π 3 5 μ Δ σ s D s r s k V 3 12.4 k V 3 C s
    (44)

    여기서 무한대 기호는 fmax가 다음의 관계를 만족하는 경우를 나타낸다.

    0 ω 2 | M ˙ o ( ω ) | 2 d ω 0 2 π f max ω 2 | M ˙ o ( ω ) | 2 d ω
    (45)

    이때 식 (36)의 fmax/fc는 식 (44)에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.

    f max f c = 12.4 k V 3 c Γ π 2 C ( k V ) ( 1 η R ) η R
    (46)

    여기서 식 (44)는 식 (28) 및 (39)와 등가이어야 하므로 η R = η R 이고, 위 식 은 다음과 같이 쓸 수 있다.

    f max f c = 12.4 k V 3 c Γ π 2 C ( k V ) ( 1 η R ) η R
    (47)

    만약, 식 (45)가 성립하지 않는다면, 즉 fmax ≪∞인 경우에는

    0 2 π f max ω 2 | M ˙ o ( ω ) | 2 d ω = c f max 0 ω 2 | M ˙ o ( ω ) | 2 d ω
    (48)

    의 관계가 성립되고, 계수 c f max 는 위 식 좌변의 적분 결과를 이용하여 다음 식 으로 나타낼 수 있다.

    c f max = 2 π ( tan 1 k f k f 1 + k f 2 ) , k = f max f c
    (49)

    한편 fmax→∞가 되기 위해서는 균열 선단 영역의 크기 Xc가 0이 되는 경우로 제한되는데, 이는 파열 핵이 없는 경우이므로 현실적이지 못하다. 이 경우를 제외하면 일반적으로 균열 선단 영역의 크기 Xc가 0보다 크고, Vr 또한 항상 0보다 크므로 fmax ≪∞가 된다. 따라서 이 조건을 만족하는 지 진파의 방사 효율은 식 (49)를 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

    η R = c f max η R = c f max [ 1 g ( k V ) ] = c f max g c ( k V )
    (50)

    그리고 rcXc임을 고려하면 식 (46)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

    k f = 12.4 k V 3 c Γ π 2 C ( k V ) { 1 c f max g c ( k v ) } g c ( k V ) 1
    (51)

    위 식에서 알 수 있듯이 kfkV에 의해 결정되고, kVkf가 주어진 경우, 식 (51)의 등식 관계를 만족하도록 반복 계산을 통해 구할 수 있다. Fig. 5cΓ=0.20, 0.33, 0.50에 대한 kfkV의 관계를 나타낸다. 그림에서 점선은 kfkV의 관계에 대한 근사 식으로 다음 식을 사용한 경우를 나타낸다.

    k v = 0.4 [ 1.25 + tan 1 ( log k f 1.03 ) ] 2 5 tan 1 ( log k f 1 ) + 1 2
    (52)

    그림에 나타난 것처럼 kf >1을 만족하기 위해서는 kV>0.2±0.05가 되어 야 한다. 이는 Vr에 하한이 있음을 의미하는데, 이와 같은 하한은 지진관측 기록은 물론이고 다양한 재료를 이용한 전단파괴실험 및 stick-slip 실내실 험에서도 확인된 적이 없지만, Fineberg and Marder[16]는 원자 격자의 전 위모델을 이용한 수치해석 결과를 근거로 한계속도 (전단파괴형식에 따라 VR 또는 Vs)의 약 0.2배가 하한값이 되는 경우를 보이고, 그 속도영역을 velocity gap이라고 하였다. 따라서 LEFM이론에 의한 단층의 파열속도는 전단파괴 속도의 금지영역 (forbidden zone, VR~1.4Vs)와 kV <약 0.2 이외 의 범위로 제한된다.

    한편, cΓ의 영향은 kf ≃10 주변에서 가장 크게 나타나며, 이때 kV의 변화 폭은 cΓ=1/3을 기준으로 ±0.1 미만이어서 kV의 변화가 크지 않다고 볼 수 있다.

    3.3 fmax/fcVr 의존성과 Kolmogorov의 가설[17]

    Kolmogorov의 가설은 두 가지 내용으로 나눌 수 있는데, 하나는 난류 의 국소등방성에 관한 것이고, 또 하나는 유사성에 관한 것이다. 국소등방 성 가설은 3차원 입자 운동의 관성력이 점성효과에 의한 전단력보다 월등 히 큰 경우 코너 진동수 fc에 대한 파장 λc 보다 매우 짧은 파장의 운동에 대한 통계적 특성은 등방성을 갖는다는 것을 의미한다. 전단력에 대한 관성력의 비를 난류 이론에서는 무차원수인 Reynolds number (Re)로 나타내는데, 일반적으로 평균속도에 비례한다. 따라서 운동 입자의 관성력이 전단력보 다 월등히 큰 경우는 운동 입자의 평균속도가 큰 경우를 의미한다. 이 가설 은 파장의 에너지 전달도 나타내는데, 3차원 난류의 경우 긴 파장의 에너지 는 짧은 파장의 에너지로 전달되며, dissipation scale의 파장 λd 이하의 파 장으로 전달된 에너지는 주로 점성효과에 의해 소비된다. 그리고, λc~λd의 파장 영역에서는 일정한 에너지 전달률을 갖고, 에너지 전달률은 전달과정 에서 점성효과로 사라지는 에너지의 감쇄율 (dissipation rate)와 거의 같다 고 본다. 이것이 유사성에 관한 가설인데, ω2 모델의 스펙트럼이 ω>ωc에서 ω-2에 비례하는 것이 이 가설에 해당하는 것이라 볼 수 있다. 다만 에너지 전달이 에너지가 집중된 긴 파장의 운동에서 짧은 파장의 운동으로 전달되 는 cascade-down이 아니라, 단층 파열 핵 형성에서 시작되어 파열 면의 크 기를 대표하는 스케일로 에너지가 전달되는 cascade-up이라는 점이 다른 데, 난류의 경우 역시 단층의 파열과 같이 2차원 특성이 강한 경우에는 cascade-up에 의해 에너지가 전달된다[50].

    한편 Kolmogorov의 가설에 의하면 λd/λc는 Reynolds number에 의해 결정되고, λd/λc∝Re-3/4 의 관계를 갖는데, 같은 열 환경에서는 동 점성계수 가 같으므로 길이 차원에 관한 기준이 같다면 평균속도 U와 파장과 진동수 와의 관계를 이용하여 fd/fc∝Re3/4U3/4의 관계가 성립한다. 이 관계를 Fig. 5에 보인 식 (51) 또는 식 (52)와 비교하면 kf 역시 kV에 대한 단조증가 함수이고, fmax는 앞서 언급한 바와 같이 dissipation scale λd (=Xc)에 대한 진동수이므로, 식 (51)의 관계는 Kolmogorov의 가설이 의미하는 것과 같 은 속성을 갖는다고 할 수 있다. 즉, λd<λ<λc에서 스펙트럼의 감쇄 기울기는 같고, 그 특성은 에너지 감쇄율에 의해 결정되는데, 이 영역의 크기는 단층 의 파열속도에 비례하여 넓어진다.

    Ohnaka[13,15]가 지적한 국소유사성은 Fig. 6ω2 모델을 이용하여 나타낸 것처럼 지진동의 (에너지) 스펙트럼의 유사성이 제한된 진동수 영 역에서만 성립한다는 것을 나타내므로 같은 내용을 의미한다고 볼 수 있다. 다만, Ohnaka는 국소유사성의 근거로 실내실험에서 얻은 파열 면의 거칠 기 (rupture surface roughness)에 대한 스펙트럼 특성을 이용하였는데, Fineberg and Marder[16]는 다양한 재료를 이용한 전단파괴실험 및 stickslip 실험 결과로부터 파열 면의 거칠기는 Vr과 상관관계가 있음을 지적하 였다. 따라서 Ohnaka의 국소유사성에 관한 주장은 Kolmogorov의 가설과 같은 특성을 지적한 것이라 할 수 있다.

    여기서 한 가지 언급해 둘 것은 Fig. 6의 변위에 대한 푸리에 진폭 스펙 트럼으로부터 알 수 있듯이 관측기록의 유효 최대진동수가 10fc 이하의 경 우 (즉, 진폭의 dynamic range가 20 dB/decade 이하의 경우) 변위진폭 스 펙트럼에서 kf의 영향을 구분하기 어렵다는 점이다. 예를 들어, 미국 서부 San Andreas 단층대의 지하 2.5 km borehole에서 얻은 기록을 이용한 Abercrombie[34]의 변위진폭 스펙트럼 해석 결과는 신뢰할 수 있는 해석 결과로 자주 인용되는데, 기록의 해석에 있어서 진동수 범위를 5fc 이상으 로 설정했지만 fc가 수 Hz~100 Hz인 점을 고려한다면 기록 해석에서 사용 한 약 140㎐까지의 진동수 범위에서 fmax를 발견할 수 없었던 것은 단지 kV 가 큰 것을 의미할 뿐 fmax가 진원과 무관하다거나 가속도 진폭 스펙트럼에 서 fmax가 존재하지 않는다는 것을 의미하지 않는다. 또한, 스펙트럼의 고진 동수 영역에서의 감쇄 기울기의 변화도 파열속도를 포함한 단층 파열과정 (rupture process)의 특성, 진동수 대역폭, 파동의 방사각 및 그리고 역 해석 의 적절성 등의 영향을 받게 되는데, 무엇보다 우선 충분한 유효 진동수 대 역폭이 확보되지 않는다면, 제한된 진동수 대역폭이 진원변수의 추정에 영 향을 미치므로 결과가 신뢰성을 확보하였다고 말하기 어려울 것이다. 이는 kinematic inversion이나 dynamic inversion에 의해 단층 파열 면의 응력 분포와 미끄럼 변위의 분포를 추정할 경우 제한된 진동수 대역폭이 문제가 되는 경우도 마찬가지라고 할 수 있다. 그 이유는 제한된 진동수 대역폭은 전 진동수 대역의 해석 결과에 low-pass 필터를 적용하는 것과 같고, 유한 차분법을 이용한 역 해석에서는 차분 격자의 크기를 크게 설정하는 것과 같 으므로 결과가 공간 평균화되고, 진동수 대역폭의 크기에 따라 평균 이외의 물리량을 과소평가할 수 있기 때문이다.

    3.4 일정한 Vrfmax의 스케일 의존성의 문제점

    Abercrombie and Rice[11]가 주장한 바와 같이 Vr이 지진의 크기와 상 관없이 일정하다는 가정이 적절한 것이라면 kf (=fmax/fc)가 지진의 크기에 상관없이 일정하다는 것을 의미하고, 지진동의 스펙트럼 특성에 대해 자기 유사성이 성립하게 된다. 또한, 동적 유사성이 성립하므로 스펙트럼 특성은 코너 진동수에 대한 무차원수를 이용하여 단일 스펙트럼 모델로 나타낼 수 있다.

    한편, 앞서 언급한 바와 같이 코너 진동수 fc가 지진 모멘트 Mo와의 사 이에 식 (16)의 ε =0의 관계를 갖는다면 kf가 일정하기 위해서 fmaxMo-1/3 의 관계를 만족하여야 한다. 이는 fmax의 스케일 의존성을 의미한다. 이때, 식 (19)의 균열 선단 영역에서의 구성관계식에서 단층의 재료 역학적 조 건이 같다면, 일정한 Vr을 가정할 경우 Δσb/μ가 일정하므로, Dc/Xc도 일 정해야 한다. 그런데, fmax=Vr/Xc이므로 XcMo1/3, DcMo1/3의 관계를 갖게 되고, 식 (29)와 식 (32) 및 식 (37)에 의해 Dc/Ds, Xc/rs는 모두 일정 하게 된다. 또한, 단위면적당 파괴 에너지로 정의되는 에너지 방출률 (energy release rate) Gc (=EG/As)에 대해서는 GcDc가 성립해야 하지 만, Ohnaka[15]가 보인 실내실험과 지진관측기록의 해석 결과와의 관계, 그리고 Abercrombie and Rice[11] 및 Lancieri et al.[51]이 지진관측기록 을 이용해 추정한 관계는 Gc∝(Dc or Ds)1.28~1.75이어서 Vr이 일정하다고 가 정한 경우로는 이런 결과를 설명할 수 없다. 또한, Kanamori and Rivera [29]가 정의한 동적 변수 e ˜ Vr이 일정하다면 식 (43)에 의해 지진의 크기 와 관계없이 일정하게 되지만, 이는 이미 언급한 바와 같이 지진관측기록의 해석 결과와 일치하지 않는다. 따라서 Vr이 일정하다는 가정과 이에 따른 fmax의 스케일 의존성도 합리적인 가정이라고 할 수 없다.

    다음 장에서는 관측기록을 이용한 fmax의 추정에 관한 과거의 연구 결과 를 이용하여 fmax의 스케일 독립성을 검토하고, 식 (51)~(52)를 이용해 단 층의 파괴면적을 추정하여 그 결과를 EBM을 전제로 한 기존의 이론 식과 비교해 보기로 한다.

    4. Vr의 스케일 의존성과 단층 면적의 추정

    Kinoshita[52]는 일본 동부 연안의 borehole 관측기록의 상세한 해석을 통해 fmax가 진원지역의 특성을 나타내는 진원 고유의 변수라는 것을 보였 다. Kinoshita의 연구에 의하면 필리핀 판, 태평양 판 그리고 유라시아 판이 충돌하는 지역의 경우 fmax가 10 Hz 이하이고, 유라시아 판과 태평양 판의 경계부에서는 20 Hz 이상이 됨을 지적하였다. 그 후 Satoh[28]를 비롯한 여러 연구자가 1980년대 중반부터 최근까지 일본에서 발생한 중요한 지진 event의 borehole 관측기록을 이용한 스펙트럼 역 해석을 통해 fmax를 추 정한 결과, fmax는 진원지역 별로 차이는 있지만, 지진의 크기에 크게 의존 하지 않는다는 것을 밝혔다[53-61]. Fig. 7에 이들 결과 중 진원 깊이 25 km 이하의 130여 개 지진에 대한 fmaxMo와의 관계를 나타낸다. 그림에서 Ide에 의한 Hida 산맥에서의 결과[61]는 관측 지진파의 역 해석 (wave form inversion)으로 추정한 Vrfc를 이용해 cΓ=1/3을 가정한 식 (52)에 서 얻은 것이다. 그림에서 알 수 있듯이 fmax는 2000년 Tottori-ken에서 발 생한 지진[54]과 Hida 산맥에서 발생한 빈발성 지진 (swarm)[61] 및 내륙 에서 발생한 진원 깊이 10 km 이하의 일부 지진을 제외하면 대체로 5 Hz~30 Hz에 분포하고 있고, 판 경계부 또는 해양에서 발생한 지진이 내륙 이나 판 경계부로부터 멀리 떨어진 곳에서 발생한 경우와 비교해 낮은 값을 보이지만 지진의 크기에 대한 의존성은 명확해 보이지 않는다. 이런 경향은 진원 깊이 30 km 이상의 지진에 대해서도 마찬가지다[53, 62]. 한편 Wen and Chen[63]은 2008년 발생한 Wenchuan 지진 (Mw7.9)의 진원으로부 터 18.5~215.3 km 떨어진 관측점 기록의 해석으로부터 fmax=4.5~11.5 Hz 의 결과를 얻었고, 이 결과는 그림에서 알 수 있듯이 일본에서 발생한 중대 형지진 (MW 6~7.5)의 경우와 거의 같다. 그리고 fmax의 변동성은 지진의 규 모가 작을수록 큰 데, 이것은 지진의 크기가 작을수록 fmax를 추정하는데 충 분한 계측기록의 신호대 잡음 비 (Signal-to-Noise Ratio) 및 dynamic range를 확보하기 어렵기 때문이라고 생각된다.

    한편, Ellsworth and Beroza[64]는 MW 2.6~8.1의 30개 지진에 대한 근 거리 관측기록의 속도 파형 분석을 통해 균열 선단 영역의 크기 Xc가 지진의 규모에 의존함을 보였는데, fmax가 지진의 크기에 의존하지 않고 일정하다 면 fmax=Vr/Xc에 의해 Vr 역시 Xc와 같은 스케일 의존성을 가져야 한다.

    Fig. 8에 나타낸 코너 진동수 fc의 경우, 일본열도의 내륙에서 발생한 지 진은 평균적으로 fcMo-1/3의 관계를 갖고, 판의 경계 근처에서 발생하는 중 대형지진의 경우 fcMo-0.26의 관계를 보이는데, 이는 식 (15)의 ε =0.85에 해당하고, San Andreas 단층대에서 발생한 소형지진에 대한 Abercrombie 의 해석 결과[34]와 거의 같다.

    fmax/fc는 Fig. 9에 나타낸 것처럼 Mo에 대해 비교적 확실한 상관관계를 갖는다. 다시 말해 지진의 크기가 커질수록 fmax/fc가 증가하여 Mo>1015 Nm의 경우 약 10~100의 값을 갖는 한편 Mo<1015 Nm의 경우 1~10이 되 는데, fmax/fc~1의 경우는 단층의 파열이 고속 동적 파괴가 아닌 준 정적 거동 (quasi- static behavior)에 의한 저속 파괴의 양상을 나타낸다고 생각된다.

    Fig. 10fmax/fc를 이용하여 식 (52)를 이용해 추정한 kVMo와의 관계 를 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 kVMo는 뚜렷한 상관관계를 갖고 있 고, Mo>1016 Nm (MW>약 4.5)의 경우 kV=0.45~0.85, Mo>1017 Nm (MW> 약 5.3)의 경우 kV=0.65~0.85의 값을 보여 지진의 규모가 커질수록 fmax/fc 와 더불어 kV, 즉 Vr도 증가한다. Mo>1017 Nm에 대한 kV의 평균은 Geller [65]가 제시한 평균 0.72와 매우 유사하고, kV의 범위는 이미 알려진 중대형 지진의 Vr에 대한 값과 거의 같다. 중소형지진의 경우 계측 지진파의 역 해 석을 통해 Vr을 추정한 예가 많지 않은데 그 중, Ide에 의한 Hida 산맥에서 의 빈발성 지진에 대한 해석 예[61]는 비록 결과의 변동성이 크지만, 평균적 으로는 유사한 규모의 다른 지진에 대해 식 (52)를 이용해 추정한 결과와 비 슷한 값을 나타내고 있어, 전체적으로는 식 (52)의 유효성을 보여준다고 판 단된다. 그리고 Fig. 8에서 ε =0.85를 나타낸 지진의 경우 Mo-kV 관계에서 내륙지진의 경우와 비교해 작은 기울기를 보여, εkV의 스케일 의존성이 서로 연관되어 있음을 알 수 있는데, 이에 대해서는 자세한 추가 검토가 필 요하다.

    Baltay et al.[66]은 같은 규모 (MW 4.7~5.3)의 지진이라도 진동수 대역 별 에너지 강도가 전혀 다른 지진동이 발생함을 지적하고, 고진동수 영역의 에너지 강도가 상대적으로 강한 지진인 energetic 지진과 상대적으로 약한 enervated 지진으로 분류하였는데, 이는 단층 파열속도의 차이에 그 원인 이 있다고 생각된다. 다시 말해, Figs. 9~10에 보인 것처럼 중규모 지진의 경우 kV가 0.4~0.8의 범위에 분포하여 단층 파열속도가 거의 2배 차이가 날 수 있고, 이로 인해 fmax/fc는 10배 이상의 차이를 보이게 된다. 이러한 단층 파열속도의 차이에 따른 진동수 대역폭의 변화가 Fig. 8에서 알 수 있는 fc의 변동성과 맞물려 Fig. 6에 보인 것보다 진동수 대역별 에너지 강도의 차이 가 더 크게 발생할 수 있기 때문이다.

    한편, Vr (=kVVs)과 코너 진동수 fc를 알면 원형 단층의 반경 rr은 식 (8) 을 이용해 얻을 수 있다. 단, kTω2 모델의 2면 스펙트랄 밀도함수에 대한 식 (6)의 분모를 적분 구간 (0, fmax)에 대해 평가하였다. 그 이유는 변위의 푸 리에 진폭 스펙트럼이 fmax 이상의 진동수 영역에서 점성효과로 소비되는 에너지를 고려해 ω-3에 비례해 감쇄한다고 하더라도 변위진폭의 2면 스펙 트랄 밀도함수는 fmax 이상의 진동수 영역에서 ω-6에 비례하여 감쇄하므로 적분 구간의 제약이 결과에 거의 영향을 미치지 못하기 때문이다. 적분공식 을 이용한 kT의 이론적 평가식은 식 (53)과 같고, kf ≥3에 대해서는 식 (8)과 관련하여 가정한 2/π와 거의 같다. 그러므로 식 (9)의 무차원수 k의 스케일 의존성은 kV에 의해 결정되고, k≃2kV/π의 관계가 성립한다. Brune의 무 차원수 0.372는 Fig. 10에 나타낸 kV에 대한 k (약 0.15~0.54)의 중간값 에 해당하여, Brune이 그의 논문[7]에서 이미 언급한 바와 같이 평균적인 의미에서 타당하다고 볼 수 있을 것이다.

    k T = [ tan 1 k f + k f 1 + k f 2 ] 1
    (53)

    k (또는 kV)의 타당성은 일차적으로 식 (8)과 식 (53)을 이용한 단층 파열 면적의 추정을 통하여 확인할 수 있다. 원형 단층 면적의 추정 결과와 모멘 트 규모 MW와의 관계를 Fig. 11에 나타낸다. 단, Vs는 각 문헌에서 제시된 값을 그대로 사용하였다. 그림에서 3개의 파선은 Kanamori and Anderson [8]이 식 (1)과 식 (12)를 이용해 제시한 다음 식에 Δσe=0.1, 3.0, 50 MPa 를 가정한 것이며, MoMW의 관계는 식 (2)를 이용하였다.

    log A = 2 3 [ log M o log ( 16 Δ σ 7 π 3 / 2 ) ]
    (54)

    그리고, Δσe=3 MPa을 가정한 경우는 Wells and Coppersmith[67]를 비롯한 많은 연구자가 제시한 경험 식[68]과 거의 같고, logAMW - 4로 쓸 수 있다.

    그림에서 알 수 있듯이 식 (8)과 식 (53)을 이용하여 추정한 원형 단층의 면적은 진원 깊이 10 km 이하의 내륙 발생 지진의 경우 다른 결과들과 비교 해 약간 큰 값을 갖는데, 이는 진원 깊이에 따른 법선 응력의 차이에 의해 파 열 면에서의 동적 전단 마찰 (dynamic shear friction)이 상대적으로 작기 때문이라 생각되고, 전체적으로는 Kanamori and Anderson이 제시한 관 계식과 잘 대응하고 있다. 특히 2000년 이후 일본에서 발생한 8개의 대형지 진의 경우[60] 경험론적 그린 함수 (Empirical Green’s Function, EGF)를 이용한 kinematic inversion 결과와 거의 일치하는 결과를 보여준다. 또한, 추정 결과는 Abercrombie and Rice[11]가 보인 미국 서부에서 발생한 지 진의 경우와 정합한다. 한편, 그림에 나타낸 데이터는 식 (54)의 Δσe ≃0.1~ 50 MPa의 범위에 분포하는데, 이는 Oth et al.[30]의 일본열도에서 발생한 MJMA (일본 기상청 규모) 2.7~8.0 규모의 지진에 대한 Δ σ e B 의 추정 결과 0.1~100 MPa과 유사하다. 이러한 비교 결과는 본 논문에서 Vr에 관한 불 합리한 가정을 배제하고 기존의 LEFM 이론과 specific barrier 모델의 fmax를 이용해 확장한 SWM의 타당성을 보여준다고 생각된다.

    5. 결 론

    본 논문에서는 Ohnaka and Yamashita[10]에 의해 도출된 균열 선단 영역에서의 스케일링 모델을 선형탄성 파괴역학 이론에서 얻은 전단파괴 형 식에 따른 단층의 파열속도와 지진파의 방사 효율과의 관계, Papageorgiou and Aki[14]가 specific barrier 모델에서 정의한 진원변수 fmax, 그리고 푸 리에 진폭 스펙트럼의 코너 진동수 fc를 이용하여 원형 단층 전체에 대한 것 으로 확장하였다. 확장과정에서 fmax/fc가 단층 파열속도에 대한 단조증가함 수임을 보였는데, 이와 같은 관계는 국소등방성 난류에 관한 Kolmogorov 의 유사성에 관한 가설[17]이 나타내는 스펙트럼의 특징과 같음을 지적하 였다. 이런 특징은 Aki가 제안한 스펙트럼의 자기 유사성[4]이 성립하지 않 고 Ohnaka[13]가 주장한 국소유사성이 성립함을 의미하며, 지금까지 일반 적으로 가정한 일정한 단층의 파열속도 역시 불합리한 것임을 의미한다. 또 한, 이런 특징은 Tsurugi et al.의 최근 논문[60]에서 지적한 바와 같이 경험 론적 그린 함수를 이용한 진원변수의 추정에서 EGF를 추정하기 위해 작은 규모의 지진에서 얻은 스펙트럼 특성을 이용할 경우 추정대상 규모의 지진 은 지반운동의 속도 및 가속도와 관계가 깊은 높은 진동수 대역의 범위를 별 도로 고려해야 할 필요가 있음을 의미한다. 그리고 fmax/fc와 단층의 파열속 도와의 관계에서 기존에 알려진 파열속도의 금지영역 이외에 fmax/fc≤1에 해당하는 약 0.2Vs 이하의 영역도 파열속도의 금지영역이 될 수 있음을 보 였다.

    fmax의 스케일 독립성을 1980년대 중반 이후부터 최근까지 여러 연구자 가 일본에서 발생한 지진기록의 역 해석을 통해 추정한 fmax중 진원 깊이 25 km 이하의 경우에 대한 약 130여 개의 데이터를 이용하여 검토하였다. 그 결과, fmax는 지진의 크기와는 관계없고, 진원의 위치에 따라 크게 변동하였 는데, fmax의 스케일 독립성은 파열속도의 스케일 독립성을 나타내는 기존 가정과 배치된다. fmax의 변동성은 중대형지진보다는 중소형지진의 경우에 크게 나타났는데, 이와 같은 변동성의 차이는 중소형지진의 경우 정확한 추 정에 요구되는 신호대 잡음 비와 계측한 지진파의 dynamic range가 부족 한 것이 한 가지 이유라고 생각된다.

    단층 파열면적의 추정에 있어서 Mai and Beroza[20]가 이용한 von Kárman의 상관 거리는 LEFM을 이용한 단층 파열의 이론해석에서 일반 적으로 가정하는 것처럼, 파열 중의 균열 확장속도가 일정한 또는 변화가 작 은 준 정상 상태 (quasi-stationary)일 경우 난류의 frozen field에 관한 가 설[17]처럼 단층의 파열속도와 적분 시간 스케일의 곱과 등가임을 고려하 여, fmax의 스케일 독립성 검토에 이용한 지진의 단층 파열면적을 추정하였 다. 그 결과, 규모 MW 3.0~7.5의 지진에 대해, 추정 결과는 일반적으로 사용 되는 Kanamori and Anderson[8]의 이론 식과 대표적인 기존의 경험 식과 매우 유사하게 나타났다. 특히, 추정 결과 중 2000년 이후 일본에서 발생한 8개의 중대형지진의 경우 kinematic inversion에 의한 추정 결과[60]와 매 우 비슷한 것으로 나타났다. 이는 EBM을 전제로 한 이론적 관계가 추정 결 과와 잘 대응하더라도, 그것이 단층 파열속도의 스케일 독립성에 관한 근거 가 될 수 없음을 의미하고, 본 논문에서 제시한 단층의 파열속도 추정방법이 합리적이라는 것을 시사한다고 생각된다.

    서론에서 언급한 바와 같이 단층의 특징을 나타내는 진원변수는 다양하 고, 변수 간의 관계, 특히 스케일링 관계는 진원의 특성을 압축적으로 나타 내므로 지진학은 물론이고 내진 공학의 관점에서도 매우 중요하다. 본 논문 에서는 단층의 파열속도와 파열면적의 추정에 주안점을 두고, 응력의 변화 나 파괴 에너지의 스케일링 관계에 대해서는 구체적으로 검토하지 않았는 데, 이들 관계는 진원에서의 최대속도와 최대가속도처럼 내진 공학상 중요 한 특성과 밀접한 관련이 있으므로 반드시 검토되어야 할 내용이며, 이에 대 한 상세한 검토는 별도의 논문을 통해 다루고자 한다.

    / 감사의 글 /

    본 연구는 국토교통부 주거환경연구개발사업의 연구비 지원(20RERPB099826- 05)에 의해 수행되었습니다.

    Figure

    EESK-24-5-219_F1.gif

    Stress changes in the breakdown zone and near the rupture front

    EESK-24-5-219_F2.gif

    Velocity factors defined in Eqs. (19)~(21)

    EESK-24-5-219_F3.gif

    Linear approximation of stress-slip relationship

    EESK-24-5-219_F4.gif

    Fracture energy efficiency functions in Eqs. (38)~(39)

    EESK-24-5-219_F5.gif

    Relationships between kf and kV for different cΓ

    EESK-24-5-219_F6.gif

    Normalized Fourier amplitude spectra of acceleration and displacement including high-cut (fmax) filters for various kf with γ=1 (high-cut filter model, Satoh et al. [28])

    EESK-24-5-219_F7.gif

    fmax from the various earthquakes occurred in Japan (Ref. 28, 51~62) and China (Ref. 63)

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    fc corresponding to fmax shown in Fig. 7

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    Scale-dependence of fmax/fc

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    Scale-dependence of rupture velocity ratio kV

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    Estimated relationship between rupture area and moment magnitude by using Eqs. (8) and (53), and the comparison to the theoretical relationship given by Kanamori and Anderson [8]

    Table

    Reference

    1. Yenier M, Atkinson GM. Regionally adjustable generic groundmotion prediction equation based on equivalent point-source simulations: Application to central and eastern north America. Bull. Seism. Soc. Am. 2015 Aug;05(4):1989-2009.
    2. Udías A, Madariaga R, Buforn E. Source mechanisms of earthquakes: theory and practice. Cambridge Univ. Press. c2014. 302p.
    3. Aki K, Richards G. Quantitative seismology. 2nd ed. University Science Books. c2009. 700p.
    4. Aki K. Scaling law of seismic spectrum. J. Geophy. Res. 1967;72: 1217-1231.
    5. Eshelby JD. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems. Proc. Roy. Soc. A.1957;241:376-396.
    6. Keylis-Borok BV. On the estimation of the displacement in an earthquake source and of source dimensions. Ann. Geofisca. 1959; 12:205-214.
    7. Brune JN. Tectonic stress and spectra of seismic shear waves from earthquakes. J Geophy. Res. 1970 Sep;75(26):4997-5009.
    8. Kanamori H, Anderson DL. Theoretical basis of some empirical relations in seismology. Bull. Seism. Soc. Am. 1975;65:1073-1095.
    9. Fialko Y. Fracture and frictional mechanics: Theory. Treatise on Geophysics. 2nd ed. Elsevior BV. c2015. p. 73-91.
    10. Ohnaka M, Yamashita T. A cohesive zone model for dynamic shear faulting based on experimentally inferred constitutive relation and strong motion source parameters. J. Geophys. Res. 1989 Apr;94(B4): 4089-4104.
    11. Abercrombie RE, Rice JR. Can observations of earthquake scaling constrain slip weakening?. Geophys. J. Int. 2005;162:406-424.
    12. Hanks TC. fmax. Bull. Seism. Soc. Am. 1982 Dec;72(6):1867-1879.
    13. Ohnaka M. The physics of rock failure and earthquakes. Cambridge Univ. Press. c2013. 270p.
    14. Papageorgiou A, Aki K. A specific barrier model for the quantitative description of inhomogeneous faulting and the prediction of strong ground motion. I. Description of the model. Bull. Seism. Soc. Am. 1983 Jun;73(3):693-722.
    15. Ohnaka M. A constitutive scaling law and a unified comprehension for frictional slip failure of intact rock, and earthquake rupture. J. Geophys. Res. 2003;108(B2):2080.
    16. Fineberg J, Marder M. Instability in dynamic fracture. Phys. Rep. 1999;313:1-108.
    17. Pope SB. Turbulent flows. Cambrifge Univ. Press. c2000. 771p.
    18. Hanks TC, Kanamori H. A moment magnitude scale. J. Geophys. Res. 1979;84:2348-2350.
    19. Heaton TH. Evidence for and implications of self-healing pulses of slip in earthquake rupture. Phys. Earth Planet Int. 1990;64:1-20.
    20. Mai PM, Beroza GC. A spatial random field model to characterize complexity in earthquake slip. J. Geophys. Res. 2002;107(B11):2308.
    21. Boatwright J, Choy GL. Acceleration source spectra anticipated for large earthquakes in northeastern north America. Bull. Seism. Soc. Am. 1992;82(2):660-682.
    22. Atkinson GM, Silva W. Stochastic modeling of California ground motions. Bull. Seism. Soc. Am. 2000 Oct;104(5):2541-2552.
    23. Boore D, Thompson EM. Path duration for use in the stochasticmethod simulation of ground motions. Bull. Seism. Soc. Am. 2014 Oct;104(5):2541-2552.
    24. Papoulis A. The Fourier integral and its application. McGraw-Hill. c1962. 318p.
    25. Madariaga R. Dynamics of an expanding circular fault. Bull. Seism. Soc. Am. 1976;66(3):639-666.
    26. Kaneko Y, Shearer PM. Seismic source spectra and estimated stress drop d eriv ed f rom cohesiv e-zone models of c ircular subshear rupture. Geophys. J. Int. 2014;197:1002-1025.
    27. Neerly JS, Stein S, Spencer BD. Large uncertainties in earthquake stress-drop estimates and their tectonic consequences. Seismol. Res. Lett. c2020.
    28. Satoh T, Kawase H, Sato T. Statistical spectra model of earthquakes in the eastern Tohoku District, Japan, based on the surface and borehole records observed in Sendai. Bull. Seism. Soc. Am. 1997;87(2):446-462.
    29. Kanamori H, Rivera L. Static and dynamic scaling relations for earthquakes and their implications for rupture speed and stress drop. Bull. Seism. Soc. Am. 2004;94(1):314-319.
    30. Oth A, Bindi D, Parola S, Di Giacomo D. Earthquake scaling characteristics and the scale-(in)dependence of seismic energyto- moment ratio: Insights from Kik-net data in Japan. Geophys. Res. Lett. 2010;37(L19304).
    31. Mayeda K, Walter WR. Moment, energy, stress drop, and source spectra of western United States earthquakes from regional coda envelopes. J. Geophys. Res. 1996;101:11,195-11,208.
    32. Yoo SH, Rhie J, Choi H, Mayeda K. Coda-derived source parameters of earthquakes and their scaling relationships in the Korean peninsula. Bull. Seism. Soc. Am. 2011;101(5):2388-2398.
    33. Mayeda K, Hofstetter A, O’Boyle L, Walter WR. Stable and transportable magnitudes based on coda-derived moment rate spectra. Bull. Seism. Soc. Am. 2003;93:224-239.
    34. Abercrombie R. Earthquakes source scaling relationships from –1 to 5 ML using seismograms recorded at 2.5-km depth. J. Geophys. Res. 1995;100(B12);24,015-24,036.
    35. Ide S, Beroza GC. Does apparent stress vary with earthquake size?. Geophys. Res. Lett. 2001;28(17):3349-3352.
    36. Baltay A, Prieto G, Beroza GC. Radiated seismic energy from coda measurements and no scaling in apprent stress with seismic moment. J. Geophys. Res. 2010;115(B08314).
    37. Tinti E, Fukuyama E, Piantanesi A, Cocco M. A kinetic source-time function compatible with earthquake dynamics. Bull. Seism. Soc. Am. 2005;95(4):1211-1223.
    38. Bizzarri A. Rupture speed and slip velocity: What can we learn from simulated eartquakes?. Earth and Planetary Sci. Lett. 2012:317-318; 196-203.
    39. Matsu’ura M, Kataoka H, Shibazaki B. Slip-dependent friction law and nucleation processes in earthquake rupture. Tectonophysics. 1992;211:135-148
    40. Hirano S, Yamashita T. Modeling of interfacial dynamic slip pulse with slip-weakening friction. Bull. Seism. Soc. Am. 2016;106(4): 1628-1636.
    41. Das S, Aki K. A numerical study of two dimensional spontaneous rupture propagation. Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1977;50:643-668.
    42. Rice JR, Sammis CG, Parsons R. Off-fault secondary failure by a dynamic slip pulse. Bull. Seism. Soc. Am. 2005;95(1):109-134.
    43. Venkataraman A, Kanamori H. Observational constraints on the fracture energy of subduction zone earthquakes. J. Geophys. Res. 2004;109(B05302).
    44. Fossum AF, Freund LB. Nonuniformly moving shear crack model of a shallow focus earthquakes mechanism. J. Geophys. Res. 1975; 80(23):3343-3347.
    45. Kostrov BV. Unsteady propagation of longitudinal shear cracks (English translation). J. Appl. Math. Mech. 1966;30:1241-1248.
    46. Eshelby JD. The elastic field of a crack extending non-uniformly under general anti-plane loading. J. Mech. Phys. Solids. 1969;17: 177-199.
    47. Boatwright J, Fletcher JB. The partition of radiated seismic energy between P and S waves. Bull. Seism. Soc. Am. 1984;74:361-376.
    48. Dong G, Papageorgiou AS. On a new class of kinematic models: symmetrical and asymmetrical circular and elliptical cracks. Phys. Earth Planet. Int. 2003;137:129-151.
    49. Boore D, Boatwright J. Average body-wave radiation coefficients. Bull. Seism. Soc. Am. 1984;74(5):1615-1621.
    50. Hino M. Introduction to fluid mechanics (in Japanese). Asakura- Shoten. c1994. 469p.
    51. Lancieri M, Madariaga R, Bonilla F. Spectral scaling of the aftershocks of the Tocopilla 2007 earthquake in northern Chile. Geophys. J. Int. c2012.
    52. Kinoshita S. Local characteristics of the fmax of bedrock motion in the Tokyo metropolitan area, Japan. J. Phys. Earth. 1992;40:487-515.
    53. Satoh T, Kobayashi Y, kawano H. Stress drop and fmax estimated from strong motion records observed at deep boreholes in Japan. Proc. 12WCEE. c2000.
    54. Satoh T. Radiation pattern and fmax of the Tottori-ken Seibu earthquake and the aftershocks inferred from KiK-net strong motion records (in Japanese with English abstract). J. Struct. Constr. Eng. AIJ. 2002;556:25-34.
    55. Kawase H, Matsuo H. Separation of source, path, and site effects based on the observed data by K-Net, KiK-net, and JMA strong motion network (in Japanese with English abstract). J. Earthq. Eng. Japan. 2004;4(1):33-52.
    56. Tsurugi M, Kagawa T, Irikura K. Study on high-cut frequency characteristics of ground motions for inland crustal earthquakes in Japan. Proc. 14WCEE. c2008.
    57. Tsurugi M, Kagawa T, Irikura K. Study on high frequency cut-off characteristics of ground motions for intra-slab earthquakes occurred in southwest in Japan. Proc. 15WCEE. c2012.
    58. Satoh T. Short period spectral level, fmax and attenuation of outerrise, intraslab and interplate earthquakes in the Tohoku district (in Japanese with English abstract). J. Struct. Constr. Eng. AIJ. 2013;689:1227-1236.
    59. Tsurugi M, Kagawa T, Irikura K. Spectral decay characteristics fmax and κ for strong ground motion prediction. Proc. 16WCEE. c2017.
    60. Tsurugi M, Tanaka R, Kagawa T, Irikura K. High-frequency spectral decay characteristics of seismic records of inland crustal earthquakes in Japan:Evaluation of the fmax and κ models. Bull. Seism. Soc. Am. 2020;110;452-470.
    61. Ide S. Complex source processes and the interaction of moderate earthquakes during the earthquake swarm in the Hida-Mountains, Japan, 1998. Tectonophysics. 2001;334:35-54.
    62. Choi H, Baltay A, Yoon BI. Source properties from the slipweakening model. Proc. 17WCEE. c2020.
    63. Wen J, Chen X. Variations in fmax along the ruptured fault during the MW 7.9 Wenchuan earthquake of 12 May 2008. Bull. Seism. Soc. Am. 2012;102(3):991-998.
    64. Ellsworth WL, Beroza GC. Seismic evidence for an earthquake nucleation phase. Science. 1995 May;268:851-855.
    65. Geller R. Scaling relations for earthquake source parameters and magnitudes. Bull.Seism. Soc. Am. 1976;66(5):1501-1523.
    66. Baltay A, Ide S, Prieto G, Beroza G. Variability in earthquake stress drop and apparent stress. Geophys. Res. Lett. 2011;38(L06303).
    67. Wells DL, Coppersmith KJ. New empirical relationships among magnitude, rupture length, rupture width, rupture area, and surface displacement. Bull. Seism. Soc. Am. 1994;84(4):974-1002.
    68. Stirling M, Goded T, Berryman K, Litchfield N. Selection of earthquake scaling relationships for seismic-hazard analysis. Bull. Seism. Soc. Am. 2013;103(6):2993-3011.